中四軌跡練習
中四 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
軌跡是中四數學課程的重要部分。本課聚焦動點條件、等距集合、作圖與交集。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理軌跡題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固軌跡的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成軌跡練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
軌跡亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 4 和 10。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 選出正確答案。
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2 基礎A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 6 和 12。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 只須填寫數值。
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3 基礎A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 8 和 14。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎A、B 的橫坐標為 10、16，等距軌跡與 x 軸交點的橫坐標是 14。這說法是否正確？
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5 基礎動點 $P$ 與 $A(0,-1)$、$B(4,1)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距。 選出正確答案。
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6 基礎動點 $P$ 與 $C(-1,-5)$ 的距離恆為 5，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+2x+10y+F=0$。求 $F$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎動點 $P$ 與直線 $y=4$ 及 $y=8$ 等距。求軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎考慮兩點 $A(0,2)$ 及 $B(-9,-10)$。$AB$ 的長度是 21。這說法是否正確？
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9 基礎動點 $P$ 與 $A(-4,2)$、$B(0,4)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距。 選出正確答案。
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10 基礎動點 $P$ 與 $C(5,-1)$ 的距離恆為 2，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2-10x+2y+F=0$。求 $F$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎動點 $P$ 與直線 $y=-2$ 及 $y=4$ 等距。求軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎考慮兩點 $A(-1,-4)$ 及 $B(6,20)$。$AB$ 的長度是 31。這說法是否正確？
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13 普通A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 2 和 10。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 選出正確答案。
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14 普通A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 4 和 12。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 只須填寫數值。
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15 普通A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 6 和 14。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 寫出主要步驟並填寫數值。
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16 普通A、B 的橫坐標為 8、16，等距軌跡與 x 軸交點的橫坐標是 12。這說法是否正確？
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17 普通圓的圓心為 $(3,6)$，半徑為 2，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通動點 $P$ 與 $A(-2,2)$、$B(2,8)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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19 普通動點 $P$ 與 $C(-4,5)$ 的距離恆為 4，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+8x-10y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題$A(-1,-1)$、$B(3,5)$，動點 $P$ 滿足 $PA=PB$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$ 中點的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P$ 的軌跡的斜率（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求軌跡的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。
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21 普通圓的圓心為 $(5,4)$，半徑為 4，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通動點 $P$ 與 $A(3,0)$、$B(9,-2)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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23 普通動點 $P$ 與 $C(-1,-4)$ 的距離恆為 2，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+2x+8y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題$A(-3,-3)$、$B(-1,3)$，動點 $P$ 滿足 $PA=PB$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$ 中點的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $AB$ 的斜率。
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(c) 求 $P$ 的軌跡的斜率（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求軌跡的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。
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25 進階A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 10 和 20。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 選出正確答案。
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26 進階A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 2 和 12。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 只須填寫數值。
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27 進階A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 4 和 14。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 寫出主要步驟並填寫數值。
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28 進階A、B 的橫坐標為 6、16，等距軌跡與 x 軸交點的橫坐標是 12。這說法是否正確？
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29 進階動點 $P$ 與直線 $y=-2$ 及 $y=9$ 等距。求軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階考慮兩點 $A(-1,5)$ 及 $B(-17,-7)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。
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31 進階圓的圓心為 $(5,-1)$，半徑為 6，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。$F$ 的值是 -10。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-4x-10y-140=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求圓心的 $x$ 坐標。
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(b) 求圓心的 $y$ 坐標。
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(c) 求半徑。
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(d) 求點 $P(7,17)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
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33 進階動點 $P$ 與直線 $y=4$ 及 $y=16$ 等距。求軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階考慮兩點 $A(-1,-5)$ 及 $B(-4,-1)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。
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35 進階圓的圓心為 $(-3,4)$，半徑為 7，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。$F$ 的值是 -24。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+4x-4y-281=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求圓心的 $x$ 坐標。
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(b) 求圓心的 $y$ 坐標。
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(c) 求半徑。
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(d) 求點 $P(6,17)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
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37 挑戰A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 8 和 20。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 選出正確答案。
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38 挑戰A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 10 和 22。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 只須填寫數值。
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39 挑戰A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 2 和 14。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 寫出主要步驟並填寫數值。
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40 挑戰A、B 的橫坐標為 4、16，等距軌跡與 x 軸交點的橫坐標是 10。這說法是否正確？
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41 挑戰動點 $P$ 與 $A(-4,3)$、$B(0,5)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距。 選出正確答案。
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42 挑戰動點 $P$ 與 $C(-4,3)$ 的距離恆為 4，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+8x-6y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰動點 $P$ 與直線 $y=4$ 及 $y=7$ 等距。軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值是 3。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題$A(2,-3)$、$B(8,-1)$，動點 $P$ 滿足 $PA=PB$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$ 中點的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P$ 的軌跡的斜率。
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(d) 求軌跡的 $y$ 截距。
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45 挑戰動點 $P$ 與 $A(-2,4)$、$B(0,0)$ 等距。求 $P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰動點 $P$ 與 $C(5,-3)$ 的距離恆為 3，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2-10x+6y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰動點 $P$ 與直線 $y=-3$ 及 $y=9$ 等距。軌跡 $y=c$ 中 $c$ 的值是 12。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題$A(-3,2)$、$B(-1,6)$，動點 $P$ 滿足 $PA=PB$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$ 中點的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $AB$ 的斜率。
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(c) 求 $P$ 的軌跡的斜率（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求軌跡的 $y$ 截距。
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49 尖子A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 6 和 20。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 選出正確答案。
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50 尖子A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 8 和 22。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 只須填寫數值。
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51 尖子A、B 在 x 軸的橫坐標分別為 10 和 24。與 A、B 等距的軌跡與 x 軸交於哪個橫坐標？ 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 尖子A、B 的橫坐標為 2、16，等距軌跡與 x 軸交點的橫坐標是 10。這說法是否正確？
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53 尖子考慮兩點 $A(-5,-4)$ 及 $B(3,-19)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。
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54 尖子圓的圓心為 $(2,5)$，半徑為 2，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子動點 $P$ 與 $A(-5,1)$、$B(-1,7)$ 等距。$P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距是 2。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-2y-288=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求圓心的 $x$ 坐標。
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(b) 求圓心的 $y$ 坐標。
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(c) 求半徑。
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(d) 求點 $P(8,16)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
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57 尖子考慮兩點 $A(3,-1)$ 及 $B(18,7)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。
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58 尖子圓的圓心為 $(6,-5)$，半徑為 2，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子動點 $P$ 與 $A(3,-3)$、$B(7,3)$ 等距。$P$ 的軌跡（一條直線）的 $y$ 截距是 10/3。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-10x+8y+16=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求圓心的 $x$ 坐標。
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(b) 求圓心的 $y$ 坐標。
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(c) 求半徑。
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(d) 求點 $P(8,0)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
軌跡常見錯誤
本課特別要留意動點條件、等距集合、作圖與交集。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。