中四二次方程練習
中四 · 80 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
二次方程是中四數學課程的重要部分。本課聚焦因式分解、公式法、判別式與根。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理二次方程題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課80題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固二次方程的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成二次方程練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
二次方程亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共80題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 80 已作答
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1 基礎解二次方程 $x^2-11x+10=0$，填寫較大的根。 選出正確答案。
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2 基礎解二次方程 $x^2-12x+11=0$，填寫較大的根。 只須填寫數值。
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3 基礎解二次方程 $x^2-13x+12=0$，填寫較大的根。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「二次方程」中，$x^2-10x+9=0$ 的值是 10。這說法是否正確？
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5 基礎考慮二次方程 $x^{2}-6x=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}+12x+3=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}-8x+2=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎解方程 $x^{2}+11x+24=0$。較大的根是 -8。這說法是否正確？
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9 基礎方程 $x^2-10x+25=0$ 的實根是甚麼？
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10 基礎在 $(k-3)x^2+2x-1=0$ 中，哪個 $k$ 值會令方程變成一次方程？
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11 基礎解方程 $x^2=7x$，填寫較小的根。
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12 基礎「方程 $x^2+2x+5=0$ 有兩個實根。」這說法是否正確？
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13 基礎考慮二次方程 $x^{2}+3x+9=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 選出正確答案。
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14 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}+5x+5=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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15 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}-10x+7=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 基礎解方程 $x^{2}+10x+16=0$。較大的根是 -8。這說法是否正確？
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17 普通解二次方程 $x^2-13x+22=0$，填寫較大的根。 選出正確答案。
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18 普通解二次方程 $x^2-14x+24=0$，填寫較大的根。 只須填寫數值。
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19 普通解二次方程 $x^2-15x+26=0$，填寫較大的根。 寫出主要步驟並填寫數值。
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20 普通在「二次方程」中，$x^2-12x+20=0$ 的值是 10。這說法是否正確？
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21 普通方程 $x^2+kx+36=0$ 有兩個相等的實根，而 $k>0$。求 $k$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通一個二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的根為 $4$ 和 $1$。求 $b$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通考慮二次方程 $x^{2}+10x-8=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-5$ 和 $-3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(-3)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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25 普通求方程 $3x^2-4x-2=0$ 的判別式。
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26 普通已知 $x=2$ 是 $x^2-6x+c=0$ 的一個根。求 $c$。
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27 普通解方程 $2x^2-x-3=0$，填寫較大的根，以最簡分數表示。
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28 普通 DSE 長題一個長方形的闊為 $x$ cm，長比闊多 $3$ cm，面積為 $40$ cm²，且 $x>0$。
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(a) 求闊，填寫 cm 的數值。
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(b) 求長，填寫 cm 的數值。
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(c) 求周界，填寫 cm 的數值。
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29 普通方程 $x^2+kx+4=0$ 有兩個相等的實根，而 $k>0$。求 $k$ 的值。 選出正確答案。
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30 普通一個二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的根為 $-3$ 和 $5$。求 $b$ 的值。 只須填寫答案。
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31 普通考慮二次方程 $x^{2}+11x+10=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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32 普通 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-1$ 和 $3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(1)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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33 進階解二次方程 $x^2-15x+36=0$，填寫較大的根。 選出正確答案。
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34 進階解二次方程 $x^2-16x+39=0$，填寫較大的根。 只須填寫數值。
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35 進階解二次方程 $x^2-17x+42=0$，填寫較大的根。 寫出主要步驟並填寫數值。
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36 進階在「二次方程」中，$x^2-14x+33=0$ 的值是 12。這說法是否正確？
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37 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}-5x+4=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 選出正確答案。
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38 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $2x^{2}-12x-6=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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39 進階解方程 $x^{2}-2x-3=0$。較大的根是 3。這說法是否正確？
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40 進階 DSE 長題直線 $L:y=-x-1$ 與拋物線 $\Gamma:y=x^{2}+x-1$ 相交於 $A$、$B$（$A$ 在 $B$ 的左方）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $B$ 的 $x$ 坐標。
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(b) 求 $B$ 的 $y$ 坐標。
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(c) 求 $A$、$B$ 兩點 $y$ 坐標之和。
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41 進階用配方法把 $x^2-6x+4=0$ 寫成 $(x-3)^2=N$。求 $N$。
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42 進階設 $\alpha,\beta$ 是 $x^2-5x+3=0$ 的根。求 $\alpha^2+\beta^2$。
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43 進階「若實係數二次方程的判別式等於零，便只有一個不同的實根。」這說法是否正確？
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44 進階 DSE 長題一個物體在 $t$ 秒後的高度為 $h=-t^2+6t+7$ 米，模型適用於拋出後至首次到達地面，且 $t\geq0$。
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(a) 求達到最高點的時間，填寫秒數。
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(b) 求最高高度，填寫米的數值。
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(c) 求到達地面的時間，填寫秒數。
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45 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $3x^{2}+13x-1=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $2x^{2}+10x+7=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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47 進階解方程 $x^{2}+6x=0$。較大的根是 0。這說法是否正確？
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48 進階 DSE 長題直線 $L:y=6$ 與拋物線 $\Gamma:y=x^{2}+4x+9$ 相交於 $A$、$B$（$A$ 在 $B$ 的左方）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $B$ 的 $x$ 坐標。
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(b) 求 $B$ 的 $y$ 坐標。
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(c) 求 $A$、$B$ 兩點 $y$ 坐標之和。
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49 挑戰解二次方程 $x^2-17x+52=0$，填寫較大的根。 選出正確答案。
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50 挑戰解二次方程 $x^2-18x+56=0$，填寫較大的根。 只須填寫數值。
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51 挑戰解二次方程 $x^2-19x+60=0$，填寫較大的根。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 挑戰在「二次方程」中，$x^2-16x+48=0$ 的值是 12。這說法是否正確？
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53 挑戰一個二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的根為 $5$ 和 $6$。求 $b$ 的值。 選出正確答案。
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54 挑戰一個二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的根為 $6$ 和 $2$。求 $b$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 挑戰考慮二次方程 $2x^{2}-5x+7=0$。判別式 $\Delta$ 的值是 81。這說法是否正確？
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56 挑戰 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-5$ 和 $0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(2)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值（答案以最簡分數表示）。
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57 挑戰方程 $\frac{x^2-5x+6}{x-2}=0$ 的實根是甚麼？
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58 挑戰設 $\alpha,\beta$ 為 $2x^2-7x+3=0$ 的根。求 $\frac1\alpha+\frac1\beta$，以最簡分數表示。
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59 挑戰「對所有實數 $k$，方程 $x^2-2kx+k^2+1=0$ 都有實根。」這說法是否正確？
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60 挑戰 DSE 長題兩個連續正整數的乘積為 $72$。設較小的整數為 $n$。
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(a) 求 $n$。
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(b) 求較大的整數。
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(c) 求兩個整數的平方和。
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61 挑戰方程 $x^2+kx+16=0$ 有兩個相等的實根，而 $k>0$。求 $k$ 的值。 選出正確答案。
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62 挑戰一個二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的根為 $-2$ 和 $6$。求 $b$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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63 挑戰考慮二次方程 $3x^{2}+10x-5=0$。判別式 $\Delta$ 的值是 40。這說法是否正確？
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64 挑戰 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-5$ 和 $0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(-3)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值（答案以最簡分數表示）。
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65 尖子解二次方程 $x^2-19x+70=0$，填寫較大的根。 選出正確答案。
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66 尖子解二次方程 $x^2-20x+75=0$，填寫較大的根。 只須填寫數值。
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67 尖子解二次方程 $x^2-21x+80=0$，填寫較大的根。 寫出主要步驟並填寫數值。
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68 尖子在「二次方程」中，$x^2-18x+65=0$ 的值是 14。這說法是否正確？
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69 尖子設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}-13x+7=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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70 尖子設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $5x^{2}+12x-16=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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71 尖子解方程 $x^{2}+8x=0$。較大的根是 0。這說法是否正確？
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72 尖子 DSE 長題直線 $L:y=2x+6$ 與拋物線 $\Gamma:y=x^{2}+6x+9$ 相交於 $A$、$B$（$A$ 在 $B$ 的左方）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $B$ 的 $x$ 坐標。
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(b) 求 $B$ 的 $y$ 坐標。
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(c) 求 $A$、$B$ 兩點 $y$ 坐標之和。
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73 尖子方程 $x^2-kx+12=0$ 的兩個正實根相差 $1$。求 $k$。
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74 尖子方程 $x^2-6x+k=0$ 的實根為 $\alpha,\beta$，且 $\alpha^2+\beta^2=20$。求 $k$。
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75 尖子設 $\alpha,\beta$ 是 $x^2-4x+3=0$ 的根。「$\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}=\frac{10}{9}$」這說法是否正確？
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76 尖子 DSE 長題方程 $x^2-6x+q=0$ 的兩個實根為 $\alpha<\beta$，且 $\beta-\alpha=4$。
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(a) 求 $q$。
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(b) 求 $\beta$。
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(c) 求 $\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}$，以最簡分數表示。
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77 尖子設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $3x^{2}+13x-9=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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78 尖子設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $5x^{2}+8x+3=0$ 的根。求 $\alpha\beta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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79 尖子解方程 $x^{2}+3x-28=0$。較大的根是 4。這說法是否正確？
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80 尖子 DSE 長題直線 $L:y=x-2$ 與拋物線 $\Gamma:y=x^{2}-x-2$ 相交於 $A$、$B$（$A$ 在 $B$ 的左方）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $B$ 的 $x$ 坐標。
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(b) 求 $B$ 的 $y$ 坐標。
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(c) 求 $A$、$B$ 兩點 $y$ 坐標之和。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
二次方程常見錯誤
本課特別要留意因式分解、公式法、判別式與根。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。