中五進階三角與三維問題練習
中五 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
進階三角與三維問題是中五數學課程的重要部分。本課聚焦三角比選擇、角度模式、方位與立體情境。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理進階三角與三維問題題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固進階三角與三維問題的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成進階三角與三維問題練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
進階三角與三維問題亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎直角三角形相對於 θ 的對邊是 5、鄰邊是 12，求 $\tan\theta$。 選出正確答案。
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2 基礎直角三角形相對於 θ 的對邊是 6、鄰邊是 8，求 $\tan\theta$。 只須填寫數值。
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3 基礎直角三角形相對於 θ 的對邊是 8、鄰邊是 15，求 $\tan\theta$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「進階三角與三維問題」中，$\tan\theta=\frac{3}{4}$ 的值是 1。這說法是否正確？
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5 基礎長方體的長、闊、高分別為 12 cm、16 cm、21 cm。求其對角線長度（cm）。 選出正確答案。
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6 基礎$\triangle ABC$ 中 $CA=9$、$CB=10$、$\angle C=60^\circ$。求 $AB^2$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎$\triangle ABC$ 中 $CA=8$ cm、$CB=14$ cm、$\angle C=150^\circ$。求三角形的面積（cm²）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎旗桿高 6 m，從地面上與旗桿底相距 8 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。$\tan\theta$ 的值是 4/3。這說法是否正確？
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9 基礎長方體的長、闊、高分別為 5 cm、12 cm、84 cm。求其對角線長度（cm）。 選出正確答案。
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10 基礎$\triangle ABC$ 中 $CA=10$、$CB=10$、$\angle C=60^\circ$。求 $AB^2$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎$\triangle ABC$ 中 $CA=3$ cm、$CB=3$ cm、$\angle C=30^\circ$。求三角形的面積（cm²）（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎旗桿高 20 m，從地面上與旗桿底相距 21 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。$\tan\theta$ 的值是 21/20。這說法是否正確？
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13 普通直角三角形相對於 θ 的對邊是 10、鄰邊是 24，求 $\tan\theta$。 選出正確答案。
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14 普通直角三角形相對於 θ 的對邊是 12、鄰邊是 16，求 $\tan\theta$。 只須填寫數值。
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15 普通直角三角形相對於 θ 的對邊是 16、鄰邊是 30，求 $\tan\theta$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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16 普通在「進階三角與三維問題」中，$\tan\theta=\frac{6}{8}$ 的值是 3/4。這說法是否正確？
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17 普通$B$ 位於 $A$ 的方位角 094°。求 $A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）。 選出正確答案。
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18 普通長方體的長、闊、高分別為 7 cm、24 cm、60 cm。求其對角線長度（cm）。 只須填寫答案。
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19 普通$\triangle ABC$ 中 $CA=8$ cm、$CB=7$ cm、$\angle C=150^\circ$。求三角形的面積（cm²）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題長方體 $ABCDEFGH$ 的底面 $ABCD$ 為 9 cm × 12 cm，高 20 cm。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求底面對角線 $AC$（cm）。
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(b) 求對角線 $AG$（cm）。
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(c) 求 $AG$ 與底面所成角的正切值（答案以最簡分數表示）。
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21 普通$B$ 位於 $A$ 的方位角 178°。求 $A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）。 選出正確答案。
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22 普通長方體的長、闊、高分別為 6 cm、8 cm、24 cm。求其對角線長度（cm）。 只須填寫答案。
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23 普通$\triangle ABC$ 中 $CA=12$、$CB=9$、$\angle C=60^\circ$。求 $AB^2$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題長方體 $ABCDEFGH$ 的底面 $ABCD$ 為 5 cm × 12 cm，高 84 cm。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求底面對角線 $AC$（cm）。
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(b) 求對角線 $AG$（cm）。
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(c) 求 $AG$ 與底面所成角的正切值（答案以最簡分數表示）。
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25 進階直角三角形相對於 θ 的對邊是 15、鄰邊是 36，求 $\tan\theta$。 選出正確答案。
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26 進階直角三角形相對於 θ 的對邊是 18、鄰邊是 24，求 $\tan\theta$。 只須填寫數值。
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27 進階直角三角形相對於 θ 的對邊是 24、鄰邊是 45，求 $\tan\theta$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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28 進階在「進階三角與三維問題」中，$\tan\theta=\frac{9}{12}$ 的值是 1。這說法是否正確？
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29 進階$\triangle ABC$ 中 $CA=12$ cm、$CB=7$ cm、$\angle C=30^\circ$。求三角形的面積（cm²）。 選出正確答案。
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30 進階旗桿高 20 m，從地面上與旗桿底相距 21 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。求 $\tan\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階$B$ 位於 $A$ 的方位角 080°。$A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）是 260。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題$\triangle ABC$ 中 $CA=8$ cm、$CB=5$ cm、$\angle ACB=60^\circ$。面積寫成 $k\sqrt{3}$ cm²。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$（cm）。
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(b) 求 $k$。
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(c) 求 $\triangle ABC$ 的周界（cm）。
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33 進階$\triangle ABC$ 中 $CA=8$ cm、$CB=12$ cm、$\angle C=150^\circ$。求三角形的面積（cm²）。 選出正確答案。
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34 進階旗桿高 6 m，從地面上與旗桿底相距 8 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。求 $\tan\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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35 進階$B$ 位於 $A$ 的方位角 052°。$A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）是 232。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題$\triangle ABC$ 中 $CA=10$ cm、$CB=6$ cm、$\angle ACB=120^\circ$。面積寫成 $k\sqrt{3}$ cm²。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$（cm）。
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(b) 求 $k$。
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(c) 求 $\triangle ABC$ 的周界（cm）。
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37 挑戰直角三角形相對於 θ 的對邊是 20、鄰邊是 48，求 $\tan\theta$。 選出正確答案。
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38 挑戰直角三角形相對於 θ 的對邊是 24、鄰邊是 32，求 $\tan\theta$。 只須填寫數值。
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39 挑戰直角三角形相對於 θ 的對邊是 32、鄰邊是 60，求 $\tan\theta$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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40 挑戰在「進階三角與三維問題」中，$\tan\theta=\frac{12}{16}$ 的值是 3/4。這說法是否正確？
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41 挑戰長方體的長、闊、高分別為 8 cm、15 cm、144 cm。求其對角線長度（cm）。 選出正確答案。
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42 挑戰$\triangle ABC$ 中 $CA=8$、$CB=9$、$\angle C=60^\circ$。求 $AB^2$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰$\triangle ABC$ 中 $CA=3$ cm、$CB=12$ cm、$\angle C=30^\circ$。三角形的面積（cm²）是 18。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題長方體 $ABCDEFGH$ 的底面 $ABCD$ 為 12 cm × 16 cm，高 21 cm。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求底面對角線 $AC$（cm）。
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(b) 求對角線 $AG$（cm）。
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(c) 求 $AG$ 與底面所成角的正切值（答案以最簡分數表示）。
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45 挑戰長方體的長、闊、高分別為 9 cm、12 cm、20 cm。求其對角線長度（cm）。 選出正確答案。
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46 挑戰$\triangle ABC$ 中 $CA=6$、$CB=5$、$\angle C=60^\circ$。求 $AB^2$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰$\triangle ABC$ 中 $CA=4$ cm、$CB=11$ cm、$\angle C=30^\circ$。三角形的面積（cm²）是 22。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題長方體 $ABCDEFGH$ 的底面 $ABCD$ 為 3 cm × 4 cm，高 12 cm。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求底面對角線 $AC$（cm）。
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(b) 求對角線 $AG$（cm）。
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(c) 求 $AG$ 與底面所成角的正切值（答案以最簡分數表示）。
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49 尖子直角三角形相對於 θ 的對邊是 25、鄰邊是 60，求 $\tan\theta$。 選出正確答案。
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50 尖子直角三角形相對於 θ 的對邊是 30、鄰邊是 40，求 $\tan\theta$。 只須填寫數值。
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51 尖子直角三角形相對於 θ 的對邊是 40、鄰邊是 75，求 $\tan\theta$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 尖子在「進階三角與三維問題」中，$\tan\theta=\frac{15}{20}$ 的值是 1。這說法是否正確？
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53 尖子旗桿高 3 m，從地面上與旗桿底相距 4 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。求 $\tan\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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54 尖子$B$ 位於 $A$ 的方位角 031°。求 $A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子長方體的長、闊、高分別為 6 cm、8 cm、24 cm。其對角線長度（cm）是 26。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題$\triangle ABC$ 中 $CA=7$ cm、$CB=8$ cm、$\angle ACB=120^\circ$。面積寫成 $k\sqrt{3}$ cm²。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$（cm）。
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(b) 求 $k$。
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(c) 求 $\triangle ABC$ 的周界（cm）。
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57 尖子旗桿高 9 m，從地面上與旗桿底相距 12 m 的一點觀看旗桿頂，仰角為 $\theta$。求 $\tan\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子$B$ 位於 $A$ 的方位角 115°。求 $A$ 相對於 $B$ 的方位角（以度計）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子長方體的長、闊、高分別為 7 cm、24 cm、60 cm。其對角線長度（cm）是 65。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題$\triangle ABC$ 中 $CA=5$ cm、$CB=16$ cm、$\angle ACB=120^\circ$。面積寫成 $k\sqrt{3}$ cm²。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $AB$（cm）。
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(b) 求 $k$。
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(c) 求 $\triangle ABC$ 的周界（cm）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
進階三角與三維問題常見錯誤
本課特別要留意三角比選擇、角度模式、方位與立體情境。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。