中五概率練習
中五 · 80 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
概率是中五數學課程的重要部分。本課聚焦樣本空間、等可能結果、互補事件與驗算。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理概率題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課80題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固概率的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成概率練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
概率亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共80題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 80 已作答
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1 基礎在「概率」中，計算 $2/7$。 選出正確答案。
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2 基礎在「概率」中，計算 $3/8$。 只須填寫數值。
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3 基礎在「概率」中，計算 $4/9$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「概率」中，$1/10$ 的值是 1/5。這說法是否正確？
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5 基礎袋中有 3 個紅球和 6 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎某射手每次射中目標的概率是 $\frac{1}{4}$，各次獨立。他射擊 3 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎一班 31 人中，有 15 人參加籃球隊，其中 11 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{1}{5}$。$P(A\cup B)$是 4/5。這說法是否正確？
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9 基礎擲一枚公平六面骰子。求點數是偶數或大於 $4$ 的概率。
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10 基礎一個公平轉盤分成 $8$ 個面積相等的扇形，其中 $3$ 個是黃色。求指針停在非黃色區域的概率，以最簡分數表示。
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11 基礎同時擲兩枚互相獨立的公平六面骰子。求點數和為 $7$ 的概率，以最簡分數表示。
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12 基礎事件 $A,B$ 互斥，且 $P(A)=1/3$、$P(B)=1/4$。「$A,B$ 是獨立事件」這說法是否正確？
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13 基礎袋中有 3 個紅球和 4 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個球顏色不同的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 基礎某射手每次射中目標的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立。他射擊 4 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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15 基礎一班 38 人中，有 20 人參加籃球隊，其中 3 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 基礎$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{1}{2}$。$P(A\cup B)$是 11/10。這說法是否正確？
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17 普通在「概率」中，計算 $2/6$。 選出正確答案。
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18 普通在「概率」中，計算 $3/7$。 只須填寫數值。
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19 普通在「概率」中，計算 $4/8$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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20 普通在「概率」中，$1/9$ 的值是 1/9。這說法是否正確？
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21 普通從 11 本不同的書中選出 4 本。求選法的數目。 選出正確答案。
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22 普通袋中有 7 個紅球和 2 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通某射手每次射中目標的概率是 $\frac{2}{5}$，各次獨立。他射擊 4 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題袋中有 6 個紅球和 3 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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25 普通擲一枚公平硬幣 $3$ 次，各次互相獨立。求恰好出現兩次正面的概率。
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26 普通已知 $P(A)=2/5$、$P(B)=7/20$、$P(A\cap B)=3/20$。求 $P(A\cup B)$，以最簡分數表示。
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27 普通袋中有 $4$ 個紅球和 $3$ 個藍球。隨機抽一球，放回並混合後再抽一球。求先紅後藍的概率，以最簡分數表示。
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28 普通 DSE 長題一班有 $40$ 人，其中 $24$ 人參加音樂組、$18$ 人參加運動組，兩組都參加的有 $10$ 人。從全班隨機選一人。
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(a) 求他最少參加一組的概率，以最簡分數表示。
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(b) 求他兩組都不參加的概率，以最簡分數表示。
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(c) 已知他參加音樂組，求他也參加運動組的概率，以最簡分數表示。
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29 普通從 10 本不同的書中選出 3 本。求選法的數目。 選出正確答案。
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30 普通袋中有 4 個紅球和 6 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 普通某射手每次射中目標的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立。他射擊 2 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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32 普通 DSE 長題袋中有 5 個紅球和 5 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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33 進階在「概率」中，計算 $2/10$。 選出正確答案。
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34 進階在「概率」中，計算 $3/6$。 只須填寫數值。
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35 進階在「概率」中，計算 $4/7$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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36 進階在「概率」中，$1/8$ 的值是 1/4。這說法是否正確？
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37 進階一班 35 人中，有 19 人參加籃球隊，其中 4 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 進階$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{3}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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39 進階從 12 本不同的書中選出 3 本。選法的數目是 220。這說法是否正確？
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40 進階 DSE 長題從 7 名男生和 3 名女生中選出 4 人組成小組。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求選法總數。
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(b) 求恰好有 1 名女生的選法。
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(c) 求最少有一名女生的選法。
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41 進階從 $1$ 至 $30$ 的整數中隨機選一個。已知它是 $3$ 的倍數，求它也是偶數的概率。
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42 進階袋中有 $5$ 個紅球和 $4$ 個藍球，隨機抽兩球，不放回。求兩球顏色不同的概率，以最簡分數表示。
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43 進階已知 $P(A)=1/2$、$P(B)=1/3$、$P(A\cap B)=1/6$。「$P(A\mid B)=1/2$，而 $P(B\mid A)=1/3$」這說法是否正確？
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44 進階 DSE 長題一枚公平硬幣獨立擲兩次。以 H 表示正面、T 表示反面。
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(a) 求最少一次正面的概率，以最簡分數表示。
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(b) 已知最少一次正面，求兩次都是正面的概率，以最簡分數表示。
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(c) 已知最少一次正面，求首次是正面的概率，以最簡分數表示。
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45 進階一班 51 人中，有 23 人參加籃球隊，其中 7 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 進階$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{2}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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47 進階從 12 本不同的書中選出 5 本。選法的數目是 792。這說法是否正確？
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48 進階 DSE 長題從 5 名男生和 5 名女生中選出 3 人組成小組。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求選法總數。
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(b) 求恰好有 2 名女生的選法。
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(c) 求最少有一名女生的選法。
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49 挑戰在「概率」中，計算 $2/9$。 選出正確答案。
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50 挑戰在「概率」中，計算 $3/10$。 只須填寫數值。
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51 挑戰在「概率」中，計算 $4/6$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 挑戰在「概率」中，$1/7$ 的值是 1/7。這說法是否正確？
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53 挑戰袋中有 4 個紅球和 3 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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54 挑戰某射手每次射中目標的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立。他射擊 4 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 挑戰一班 39 人中，有 10 人參加籃球隊，其中 4 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。他也是游泳隊員的概率是 4/39。這說法是否正確？
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56 挑戰 DSE 長題袋中有 5 個紅球和 4 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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57 挑戰某天下雨的概率為 $1/4$。下雨時小華遲到的概率為 $2/5$；不下雨時為 $1/10$。求小華當天遲到的概率。
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58 挑戰事件 $A,B$ 獨立，$P(A)=2/5$，$P(A\cup B)=7/10$。求 $P(B)$，以最簡分數表示。
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59 挑戰某人每次成功的概率為 $3/5$，兩次嘗試獨立。「恰好成功一次的概率是 $6/5$。」這說法是否正確？
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60 挑戰 DSE 長題袋中有 $4$ 個紅球和 $3$ 個藍球，所有球可區分。隨機同時抽出 $3$ 球，每種三球組合等可能。
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(a) 求恰好兩個紅球的概率，以最簡分數表示。
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(b) 求三球同色的概率，以最簡分數表示。
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(c) 求最少兩個紅球的概率，以最簡分數表示。
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61 挑戰袋中有 6 個紅球和 2 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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62 挑戰某射手每次射中目標的概率是 $\frac{1}{5}$，各次獨立。他射擊 4 次。求最少射中一次的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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63 挑戰一班 41 人中，有 21 人參加籃球隊，其中 15 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。他也是游泳隊員的概率是 15/41。這說法是否正確？
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64 挑戰 DSE 長題袋中有 7 個紅球和 4 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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65 尖子在「概率」中，計算 $2/8$。 選出正確答案。
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66 尖子在「概率」中，計算 $3/9$。 只須填寫數值。
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67 尖子在「概率」中，計算 $4/10$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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68 尖子在「概率」中，$1/6$ 的值是 1/3。這說法是否正確？
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69 尖子$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{3}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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70 尖子從 11 本不同的書中選出 2 本。求選法的數目。 寫出主要步驟並填寫答案。
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71 尖子袋中有 5 個紅球和 6 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。兩個都是紅球的概率是 2/11。這說法是否正確？
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72 尖子 DSE 長題從 4 名男生和 5 名女生中選出 3 人組成小組。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求選法總數。
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(b) 求恰好有 1 名女生的選法。
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(c) 求最少有一名女生的選法。
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73 尖子獨立擲一枚公平六面骰子兩次。已知最少有一次擲得 $6$，求只有第二次擲得 $6$ 的概率，以最簡分數表示。
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74 尖子從 $4$ 名男生及 $3$ 名女生中隨機選 $3$ 人，每個三人組合等可能。已知選出的組最少有一名女生，求其中包含指定女生小美的概率，以最簡分數表示。
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75 尖子袋中有 $2$ 個紅球、$3$ 個藍球，隨機抽兩球，不放回。已知最少抽到一個紅球。「兩球都是紅球的條件概率為 $1/7$。」這說法是否正確？
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76 尖子 DSE 長題袋 A 有 $3$ 個紅球、$1$ 個藍球；袋 B 有 $1$ 個紅球、$3$ 個藍球。用公平硬幣選袋，然後從選定的袋隨機抽球；若抽第二球，仍用同一袋且不放回第一球。
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(a) 求第一球是紅球的概率，以最簡分數表示。
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(b) 已知第一球是紅球，求選到袋 A 的概率，以最簡分數表示。
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(c) 求連續兩球都是紅球的概率，以最簡分數表示。
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77 尖子$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{2}{5}$、$P(B)=\frac{3}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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78 尖子從 10 本不同的書中選出 2 本。求選法的數目。 寫出主要步驟並填寫答案。
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79 尖子袋中有 3 個紅球和 5 個藍球，隨機抽出兩個（不放回）。兩個都是紅球的概率是 3/28。這說法是否正確？
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80 尖子 DSE 長題從 4 名男生和 6 名女生中選出 4 人組成小組。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求選法總數。
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(b) 求恰好有 2 名女生的選法。
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(c) 求最少有一名女生的選法。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
概率常見錯誤
本課特別要留意樣本空間、等可能結果、互補事件與驗算。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。