DSE M1二項、幾何及泊松分佈練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
二項、幾何及泊松分佈是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦二項、幾何及泊松分佈的使用條件、概率、平均數與方差。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理二項、幾何及泊松分佈題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固二項、幾何及泊松分佈的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成二項、幾何及泊松分佈練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
二項、幾何及泊松分佈亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎$X\sim B(5,\frac{1}{3})$。求 $P(X=3)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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2 基礎$X\sim B(10,\frac{1}{4})$。求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X=3)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎每小時到達的顧客數目服從平均數為 $\frac{5}{2}$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。$\text{Var}(Y)$是 5/2。這說法是否正確？
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5 基礎$X\sim B(5,\frac{1}{4})$。求 $P(X=3)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎$X\sim B(25,\frac{2}{5})$。求 $\text{Var}(X)$。 只須填寫答案。
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7 基礎每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{5}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X=4)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎每小時到達的顧客數目服從平均數為 $\frac{5}{2}$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。$E(Y)$是 5/2。這說法是否正確？
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9 基礎$X\sim B(6,\frac{1}{2})$。求 $P(X=5)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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10 基礎$X\sim B(21,\frac{1}{4})$。求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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11 基礎每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{4}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X>5)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎假設互不重疊時段的到達數目互相獨立，且到達速率固定。每小時到達的顧客數目服從平均數為 $5$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。$E(Y)$是 5。這說法是否正確？
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13 普通$X$ 服從平均數為 $5$ 的泊松分佈。求把 $P(X=3)$ 寫成 $ce^{-5}$，$c$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 普通$X\sim B(4,\frac{1}{2})$。求 $P(X=1)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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15 普通$X\sim B(51,\frac{2}{5})$。求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{2}{5}$，各次獨立，共進行 7 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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17 普通$X$ 服從平均數為 $\frac{3}{2}$ 的泊松分佈。求把 $P(X=2)$ 寫成 $ce^{-\frac{3}{2}}$，$c$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通$X\sim B(6,\frac{1}{2})$。求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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19 普通$X\sim B(28,\frac{1}{4})$。求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{5}$，各次獨立，共進行 5 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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21 普通$X$ 服從平均數為 $\frac{1}{2}$ 的泊松分佈。求把 $P(X\le 1)$ 寫成 $ce^{-\frac{1}{2}}$，$c$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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22 普通$X\sim B(3,\frac{1}{2})$。求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通$X\sim B(13,\frac{2}{5})$。求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立，共進行 6 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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25 進階每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X=4)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階每小時到達的顧客數目服從平均數為 $\frac{3}{2}$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 2 小時內到達的人數。求 $E(Y)$。 只須填寫答案。
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27 進階$X$ 服從平均數為 $4$ 的泊松分佈。把 $P(X=1)$ 寫成 $ce^{-4}$，$c$ 的值是 4。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立，共進行 3 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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29 進階每次投籃命中的概率是 $\frac{2}{5}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X=5)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階每小時到達的顧客數目服從平均數為 $2$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 2 小時內到達的人數。求 $\text{Var}(Y)$。 只須填寫答案。
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31 進階$X$ 服從平均數為 $4$ 的泊松分佈。把 $P(X=2)$ 寫成 $ce^{-4}$，$c$ 的值是 8。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立，共進行 5 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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33 進階每次投籃命中的概率是 $\frac{2}{5}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。求 $P(X=2)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階假設互不重疊時段的到達數目互相獨立，且到達速率固定。每小時到達的顧客數目服從平均數為 $2$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 3 小時內到達的人數。求 $\text{Var}(Y)$。 只須填寫答案。
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35 進階$X$ 服從平均數為 $5$ 的泊松分佈。把 $P(X=0)$ 寫成 $ce^{-5}$，$c$ 的值是 1。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立，共進行 6 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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37 挑戰$X\sim B(4,\frac{2}{5})$。求 $P(X=3)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰$X\sim B(36,\frac{1}{2})$。求 $\text{Var}(X)$。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰每小時到達的顧客數目服從平均數為 $5$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。$\text{Var}(Y)$是 5。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立，共進行 5 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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41 挑戰$X\sim B(5,\frac{1}{3})$。求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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42 挑戰$X\sim B(40,\frac{2}{5})$。求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。$P(X=3)$是 8/81。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{4}$，各次獨立，共進行 3 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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45 挑戰$X\sim B(5,\frac{1}{4})$。求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰$X\sim B(46,\frac{3}{10})$。求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰每次投籃命中的概率是 $\frac{1}{4}$，各次獨立。設 $X$ 為直至（並包括）第一次命中所需的投籃次數。$P(X=5)$是 243/4096。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{2}$，各次獨立，共進行 7 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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49 尖子每小時到達的顧客數目服從平均數為 $3$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。求 $\text{Var}(Y)$。 只須填寫答案。
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50 尖子$X$ 服從平均數為 $2$ 的泊松分佈。求把 $P(X\le 1)$ 寫成 $ce^{-2}$，$c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子$X\sim B(6,\frac{1}{3})$。$P(X=4)$是 20/243。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{4}$，各次獨立，共進行 4 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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53 尖子每小時到達的顧客數目服從平均數為 $\frac{5}{2}$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 4 小時內到達的人數。求 $\text{Var}(Y)$。 只須填寫答案。
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54 尖子$X$ 服從平均數為 $5$ 的泊松分佈。求把 $P(X=2)$ 寫成 $ce^{-5}$，$c$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子$X\sim B(3,\frac{1}{4})$。$P(X=2)$是 9/64。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{2}{5}$，各次獨立，共進行 3 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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57 尖子假設互不重疊時段的到達數目互相獨立，且到達速率固定。每小時到達的顧客數目服從平均數為 $4$ 的泊松分佈。設 $Y$ 為 2 小時內到達的人數。求 $\text{Var}(Y)$。 只須填寫答案。
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58 尖子$X$ 服從平均數為 $4$ 的泊松分佈。求把 $P(X\le 1)$ 寫成 $ce^{-4}$，$c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子$X\sim B(5,\frac{1}{4})$。$P(X=5)$是 1/1024。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題每次測試成功的概率是 $\frac{1}{3}$，各次獨立，共進行 4 次。設 $X$ 為成功次數。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $E(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\text{Var}(X)$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $P(X=0)$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $P(X\ge 1)$（答案以最簡分數表示）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
二項、幾何及泊松分佈常見錯誤
本課特別要留意二項、幾何及泊松分佈的使用條件、概率、平均數與方差。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。