DSE M1進階概率練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
進階概率是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦條件概率、獨立事件、全概率定律及貝葉斯定理。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理進階概率題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固進階概率的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成進階概率練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
進階概率亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎一班 56 人中，有 28 人參加籃球隊，其中 25 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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2 基礎工廠的機器 A 生產 $\frac{1}{2}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{25}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{20}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{1}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎某病的患病率為 $\frac{3}{5}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{1}{2}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{5}$。隨機一人測試呈陽性的概率是 3/10。這說法是否正確？
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5 基礎一班 43 人中，有 19 人參加籃球隊，其中 14 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎工廠的機器 A 生產 $\frac{3}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{25}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{20}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{3}{10}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎某病的患病率為 $\frac{1}{4}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{3}{5}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{5}$。隨機一人測試呈陽性的概率是 3/20。這說法是否正確？
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9 基礎一班 26 人中，有 13 人參加籃球隊，其中 6 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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10 基礎工廠的機器 A 生產 $\frac{7}{10}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{25}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{20}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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11 基礎$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{1}{5}$、$P(B)=\frac{2}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎某病的患病率為 $\frac{1}{2}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{4}{5}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{10}$。隨機一人測試呈陽性的概率是 2/5。這說法是否正確？
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13 普通$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{3}{5}$、$P(A\cup B)=\frac{9}{10}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 普通一班 38 人中，有 13 人參加籃球隊，其中 10 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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15 普通工廠的機器 A 生產 $\frac{3}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{3}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{20}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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17 普通$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{3}{5}$、$P(A\cup B)=\frac{7}{10}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通一班 39 人中，有 21 人參加籃球隊，其中 10 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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19 普通工廠的機器 A 生產 $\frac{2}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{2}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{20}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{25}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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21 普通$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{2}{5}$、$P(A\cup B)=\frac{7}{10}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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22 普通一班 27 人中，有 13 人參加籃球隊，其中 3 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通工廠的機器 A 生產 $\frac{1}{2}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{20}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{3}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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25 進階$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{3}{10}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階某病的患病率為 $\frac{3}{5}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{4}{5}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{3}{10}$。求隨機一人測試呈陽性的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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27 進階$P(A)=\frac{2}{5}$、$P(B)=\frac{3}{10}$、$P(A\cup B)=\frac{3}{5}$。$P(A|B)$是 1/3。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題袋中有 4 個紅球和 3 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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29 進階$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{2}{5}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階某病的患病率為 $\frac{1}{2}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{3}{5}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{10}$。求隨機一人測試呈陽性的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{1}{2}$、$P(A\cup B)=\frac{4}{5}$。$P(A|B)$是 3/5。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題袋中有 3 個紅球和 5 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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33 進階$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{2}{5}$、$P(B)=\frac{3}{10}$。求 $P(A\cup B)$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階某病的患病率為 $\frac{3}{10}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{7}{10}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{10}$。求隨機一人測試呈陽性的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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35 進階$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{3}{10}$、$P(A\cup B)=\frac{2}{5}$。$P(A|B)$是 2/3。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題袋中有 6 個紅球和 2 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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37 挑戰一班 57 人中，有 29 人參加籃球隊，其中 8 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰工廠的機器 A 生產 $\frac{7}{10}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{3}{100}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰某病的患病率為 $\frac{3}{5}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{7}{10}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{3}{10}$。隨機一人測試呈陽性的概率是 21/50。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{1}{2}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{20}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{25}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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41 挑戰一班 34 人中，有 17 人參加籃球隊，其中 8 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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42 挑戰工廠的機器 A 生產 $\frac{2}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{25}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{3}{100}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{3}{10}$、$P(B)=\frac{1}{5}$。$P(A\cup B)$是 1/2。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{1}{2}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{20}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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45 挑戰一班 36 人中，有 12 人參加籃球隊，其中 8 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。求他也是游泳隊員的概率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰工廠的機器 A 生產 $\frac{2}{5}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{20}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{50}$。隨機抽出一件，發現是次品。求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰$A$、$B$ 是獨立事件，$P(A)=\frac{2}{5}$、$P(B)=\frac{1}{2}$。$P(A\cup B)$是 9/10。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題機器 A 生產 $\frac{1}{2}$ 的產品，次品率 $\frac{1}{10}$；機器 B 生產其餘產品，次品率 $\frac{1}{25}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求隨機一件產品是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 已知是次品，求它來自機器 A 的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求產品不是次品的概率（答案以最簡分數表示）。
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49 尖子某病的患病率為 $\frac{3}{5}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{3}{5}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{3}{10}$。求隨機一人測試呈陽性的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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50 尖子$P(A)=\frac{3}{5}$、$P(B)=\frac{1}{2}$、$P(A\cup B)=\frac{9}{10}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子一班 29 人中，有 11 人參加籃球隊，其中 5 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。他也是游泳隊員的概率是 5/11。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題袋中有 4 個紅球和 2 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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53 尖子$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{3}{10}$、$P(A\cup B)=\frac{3}{5}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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54 尖子$P(A)=\frac{2}{5}$、$P(B)=\frac{3}{10}$、$P(A\cup B)=\frac{1}{2}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子一班 37 人中，有 27 人參加籃球隊，其中 13 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。他也是游泳隊員的概率是 13/27。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題袋中有 3 個紅球和 3 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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57 尖子某病的患病率為 $\frac{2}{5}$。患者測試呈陽性的概率為 $\frac{7}{10}$，非患者呈陽性的概率為 $\frac{1}{5}$。求隨機一人測試呈陽性的概率（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子$P(A)=\frac{1}{2}$、$P(B)=\frac{2}{5}$、$P(A\cup B)=\frac{3}{5}$。求 $P(A|B)$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子一班 48 人中，有 28 人參加籃球隊，其中 11 人同時參加游泳隊。隨機選出一名籃球隊員。他也是游泳隊員的概率是 11/28。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題袋中有 7 個紅球和 5 個藍球。隨機抽出兩個（不放回）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求第一個是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求兩個都是紅球的概率（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求最少有一個藍球的概率（答案以最簡分數表示）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
進階概率常見錯誤
本課特別要留意條件概率、獨立事件、全概率定律及貝葉斯定理。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。