DSE M1極限與導數練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
極限與導數是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦極限、首原理、e^x 與 ln x 的導數，以及積法則、商法則和鏈式法則。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理極限與導數題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固極限與導數的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成極限與導數練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
極限與導數亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎求 $\lim_{x\to 7}\frac{x^2-49}{x-7}$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎求 $\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{2}+6x+1}{3x^{2}+5}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{6x}-1}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎已知 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-2x-4$。$f'(0)$ 的值是 -4。這說法是否正確？
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5 基礎求 $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎求 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+7x+1}{4x^{2}+4}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎已知 $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-5x+5$。求 $f'(0)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎已知 $f(x)=x^{3}-2x^{2}+2x+7$。$f'(2)$ 的值是 11。這說法是否正確？
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9 基礎求 $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎求 $\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{2}-x+1}{3x^{2}-8}$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{9x}-1}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎已知 $f(x)=-2x^{3}+x^{2}-4x-6$。$f'(2)$ 的值是 -26。這說法是否正確？
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13 普通設 $f(x)=-x^{2}-4x$，以首原理求 $f'(-4)$。求 $\lim_{h\to 0}\frac{f(-4+h)-f(-4)}{h}$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通設 $y=(x+1)(x^{2}+4)$。求當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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15 普通設 $y=(2x)^{4}$。求當 $x=1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{x^2-x}$
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17 普通設 $f(x)=x^{2}+4x$，以首原理求 $f'(-4)$。求 $\lim_{h\to 0}\frac{f(-4+h)-f(-4)}{h}$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通設 $y=(x-2)(x^{2}-1)$。求當 $x=3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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19 普通設 $y=(-x-3)^{4}$。求當 $x=1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{2x^2-x}$
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21 普通設 $f(x)=3x^{2}-3x$，以首原理求 $f'(-1)$。求 $\lim_{h\to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通設 $y=(x+2)(x^{2}+5)$。求當 $x=3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通設 $y=(-x+2)^{5}$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{6x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{x^2-x}$
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25 進階$y=e^{5x}$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階求 $\lim_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x-6}$ 的值。 只須填寫答案。
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27 進階$\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}+6x+1}{7x^{2}+6}$ 的值是 5/7。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-2x+2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=2$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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29 進階$y=e^{6x}$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階求 $\lim_{x\to 7}\frac{x^2-49}{x-7}$ 的值。 只須填寫答案。
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31 進階$\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{2}+9x+1}{2x^{2}-9}$ 的值是 3。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}+2x^{2}+5x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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33 進階$y=\ln(6x)$。求當 $x=6$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階求 $\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階$\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^{2}-6x+1}{4x^{2}-9}$ 的值是 -3/4。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-2x^{2}+x+6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=0$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=0$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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37 挑戰求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{x}$ 的值。 選出正確答案。
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38 挑戰已知 $f(x)=2x^{3}+2x^{2}+6x+8$。求 $f'(-2)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰設 $f(x)=x^{2}$，以首原理求 $f'(4)$。$\lim_{h\to 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$ 的值是 16。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{2x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
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41 挑戰求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ 的值。 選出正確答案。
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42 挑戰已知 $f(x)=-2x^{3}-6x^{2}-x-8$。求 $f'(3)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰設 $f(x)=-x^{2}-2x$，以首原理求 $f'(0)$。$\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ 的值是 0。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
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45 挑戰求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x}$ 的值。 選出正確答案。
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46 挑戰已知 $f(x)=4x^{3}-x^{2}-3x+6$。求 $f'(-1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰設 $f(x)=x^{2}-5x$，以首原理求 $f'(1)$。$\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 的值是 -4。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) $\lim_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x-6}$
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(b) $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$
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(c) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-x}$
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49 尖子設 $y=(x+1)(x^{2}+5)$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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50 尖子設 $y=(3x)^{5}$。求當 $x=1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子$y=\ln(6x)$。當 $x=6$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1/6。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-4x^{2}+6x+6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=2$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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53 尖子設 $y=(x-2)(x^{2}+3)$。求當 $x=-2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子設 $y=(4x+1)^{3}$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子$y=\ln(6x)$。當 $x=9$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1/9。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}+2x^{2}+x$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=-1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=-1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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57 尖子設 $y=(x+4)(x^{2}+1)$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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58 尖子設 $y=(4x-2)^{4}$。求當 $x=1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子$y=\ln(2x)$。當 $x=9$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1/9。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-4x^{2}+4x+4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
極限與導數常見錯誤
本課特別要留意極限、首原理、e^x 與 ln x 的導數，以及積法則、商法則和鏈式法則。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。