DSE M1抽樣與估計練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
抽樣與估計是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦樣本平均數的分佈、無偏估計、置信區間及所需樣本大小。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理抽樣與估計題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固抽樣與估計的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成抽樣與估計練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
抽樣與估計亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎總體標準差為 24，抽取大小為 9 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差。 選出正確答案。
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2 基礎從標準差為 12 的正態總體抽取大小為 36 的隨機樣本，樣本平均數為 50。求總體平均數 95% 置信區間的下限。 只須填寫答案。
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3 基礎從總體抽出的隨機樣本為 6, 9, 18, 11, 16。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎從標準差為 10 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 3.92。$n$ 的值是 10。這說法是否正確？
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5 基礎總體標準差為 30，抽取大小為 25 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差。 選出正確答案。
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6 基礎從標準差為 8 的正態總體抽取大小為 16 的隨機樣本，樣本平均數為 168。求總體平均數 95% 置信區間的上限。 只須填寫答案。
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7 基礎從總體抽出的隨機樣本為 16, 6, 20, 14, 16。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎從標準差為 10 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 7.84。$n$ 的值是 5。這說法是否正確？
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9 基礎樣本觀測互相獨立、同分佈。總體標準差為 15，抽取大小為 25 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差。 選出正確答案。
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10 基礎從標準差為 8 的正態總體抽取大小為 16 的隨機樣本，樣本平均數為 50。求總體平均數 95% 置信區間的下限。 只須填寫答案。
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11 基礎樣本觀測互相獨立、同分佈。從總體抽出的隨機樣本為 15, 6, 18, 2, 18。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎從標準差為 4 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 3.136。$n$ 的值是 5。這說法是否正確？
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13 普通總體標準差為 24，抽取大小為 25 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 普通從標準差為 20 的正態總體抽取大小為 100 的隨機樣本，樣本平均數為 168。求總體平均數 95% 置信區間的上限。 只須填寫答案。
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15 普通從總體抽出的隨機樣本為 17, 17, 16, 12, 17。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題樣本大小 36，樣本平均數 150，總體標準差 12。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
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17 普通總體標準差為 15，抽取大小為 4 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通從標準差為 8 的正態總體抽取大小為 16 的隨機樣本，樣本平均數為 62。求總體平均數 95% 置信區間的下限。 只須填寫答案。
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19 普通從總體抽出的隨機樣本為 15, 13, 13, 15, 3。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題樣本大小 25，樣本平均數 50，總體標準差 10。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
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21 普通樣本觀測互相獨立、同分佈。總體標準差為 8，抽取大小為 16 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差。 選出正確答案。
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22 普通從標準差為 15 的正態總體抽取大小為 25 的隨機樣本，樣本平均數為 50。求總體平均數 95% 置信區間的上限。 只須填寫答案。
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23 普通樣本觀測互相獨立、同分佈。從總體抽出的隨機樣本為 2, 6, 14, 7, 20。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題從正態總體抽取觀測互相獨立的隨機樣本。樣本大小 16，樣本平均數 72，總體標準差 8。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
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25 進階從標準差為 6 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 5.88。求 $n$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階總體標準差為 20，抽取大小為 36 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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27 進階從標準差為 12 的正態總體抽取大小為 36 的隨機樣本，樣本平均數為 62。總體平均數 95% 置信區間的下限是 58.08。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題$X\sim N(60,15^2)$，已知 $P(Z<1)=0.8413$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x=75$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>75)$。
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(c) 求 $P(4529 進階從標準差為 20 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 9.8。求 $n$ 的值。 選出正確答案。30 進階總體標準差為 8，抽取大小為 9 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。31 進階從標準差為 6 的正態總體抽取大小為 9 的隨機樣本，樣本平均數為 120。總體平均數 95% 置信區間的上限是 123.92。這說法是否正確？32 進階 DSE 長題$X\sim N(60,5^2)$，已知 $P(Z<2)=0.9772$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x=70$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>70)$。
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(c) 求 $P(5033 進階從標準差為 12 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 11.76。求 $n$ 的值。 選出正確答案。34 進階樣本觀測互相獨立、同分佈。總體標準差為 20，抽取大小為 4 的隨機樣本。求樣本平均數的標準差。 只須填寫答案。35 進階從標準差為 20 的正態總體抽取大小為 100 的隨機樣本，樣本平均數為 62。總體平均數 95% 置信區間的上限是 65.92。這說法是否正確？36 進階 DSE 長題$X\sim N(70,5^2)$，已知 $P(Z<2)=0.9772$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x=80$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>80)$。
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(c) 求 $P(6037 挑戰從總體抽出的隨機樣本為 9, 15, 18, 8, 16。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。38 挑戰從標準差為 15 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 5.88。求 $n$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。39 挑戰總體標準差為 30，抽取大小為 16 的隨機樣本。樣本平均數的標準差是 15/8。這說法是否正確？40 挑戰 DSE 長題樣本大小 16，樣本平均數 50，總體標準差 8。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
41 挑戰從總體抽出的隨機樣本為 19, 19, 17, 10, 17。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。42 挑戰從標準差為 5 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 4.9。求 $n$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。43 挑戰總體標準差為 24，抽取大小為 4 的隨機樣本。樣本平均數的標準差是 6。這說法是否正確？44 挑戰 DSE 長題樣本大小 25，樣本平均數 150，總體標準差 10。 分題作答，每部分只須填寫答案。-
(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
45 挑戰樣本觀測互相獨立、同分佈。從總體抽出的隨機樣本為 13, 6, 12, 5, 2。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。46 挑戰從標準差為 10 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 7.84。求 $n$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。47 挑戰樣本觀測互相獨立、同分佈。總體標準差為 30，抽取大小為 25 的隨機樣本。樣本平均數的標準差是 6/5。這說法是否正確？48 挑戰 DSE 長題從正態總體抽取觀測互相獨立的隨機樣本。樣本大小 36，樣本平均數 50，總體標準差 12。 分題作答，每部分只須填寫答案。-
(a) 求樣本平均數的標準差。
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(b) 求 95% 置信區間的下限。
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(c) 求 95% 置信區間的上限。
49 尖子從標準差為 10 的正態總體抽取大小為 25 的隨機樣本，樣本平均數為 120。求總體平均數 95% 置信區間的上限。 只須填寫答案。50 尖子從總體抽出的隨機樣本為 8, 15, 6, 16, 11。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。51 尖子從標準差為 20 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 9.8。$n$ 的值是 64。這說法是否正確？52 尖子 DSE 長題$X\sim N(100,15^2)$，已知 $P(Z<2)=0.9772$。 分題作答，每部分只須填寫答案。-
(a) 求 $x=130$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>130)$。
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(c) 求 $P(7053 尖子從標準差為 20 的正態總體抽取大小為 100 的隨機樣本，樣本平均數為 75。求總體平均數 95% 置信區間的下限。 只須填寫答案。54 尖子從總體抽出的隨機樣本為 11, 17, 18, 7, 16。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。55 尖子從標準差為 15 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 5.88。$n$ 的值是 100。這說法是否正確？56 尖子 DSE 長題$X\sim N(60,15^2)$，已知 $P(Z<2)=0.9772$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x=90$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>90)$。
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(c) 求 $P(3057 尖子從標準差為 6 的正態總體抽取大小為 9 的隨機樣本，樣本平均數為 168。求總體平均數 95% 置信區間的上限。 只須填寫答案。58 尖子樣本觀測互相獨立、同分佈。從總體抽出的隨機樣本為 9, 5, 9, 3, 18。求總體方差的無偏估計 $s^2$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。59 尖子從標準差為 5 的正態總體抽取大小為 $n$ 的隨機樣本，所得總體平均數的 95% 置信區間闊度為 4.9。$n$ 的值是 16。這說法是否正確？60 尖子 DSE 長題$X\sim N(70,5^2)$，已知 $P(Z<1)=0.8413$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x=75$ 的標準分。
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(b) 求 $P(X>75)$。
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(c) 求 $P(65
報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
抽樣與估計常見錯誤
本課特別要留意樣本平均數的分佈、無偏估計、置信區間及所需樣本大小。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。
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