DSE M2定積分及其應用練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
定積分及其應用是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦定積分的性質與計算、平面面積及旋轉體體積。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理定積分及其應用題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固定積分及其應用的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成定積分及其應用練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
定積分及其應用亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
-
1 基礎求 $\int_{-2}^{2}(-x^{2}-4x+2)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
2 基礎曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=2x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
3 基礎由 $y=x$、$x$ 軸及直線 $x=4$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
4 基礎$\int_{0}^{\ln 5} e^x\,dx$ 的值是 5。這說法是否正確？
-
5 基礎求 $\int_{0}^{2}(-3x^{2}-2)\,dx$ 的值。 選出正確答案。
-
6 基礎曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=3x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
7 基礎由 $y=x^2$、$x$ 軸及直線 $x=3$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
8 基礎$\int_{0}^{\ln 2} e^x\,dx$ 的值是 2。這說法是否正確？
-
9 基礎求 $\int_{-1}^{2}(-x^{2}+5x+5)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
10 基礎由 $y=\sqrt{x}$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。
-
11 基礎由 $y=\sqrt{x}$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
12 基礎$\int_{0}^{\ln 4} e^x\,dx$ 的值是 4。這說法是否正確？
-
13 普通求 $\int_0^{\frac{\pi}{8}}6\cos 4x\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
14 普通求 $\int_0^{\ln 3}e^{3x}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
15 普通求 $\int_{0}^{3}(x^{2}-4x-5)\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
16 普通 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=x$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積（答案以最簡分數表示）。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 若把直線 $x=1$ 改為 $x=2$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
17 普通求 $\int_0^{\frac{\pi}{10}}4\cos 5x\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
18 普通求 $\int_0^{\ln 4}e^{2x}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
19 普通求 $\int_{-1}^{3}(x^{2}-4x-4)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
20 普通 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=3x$、$x$ 軸及直線 $x=3$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積（答案以最簡分數表示）。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$。
-
(c) 若把直線 $x=3$ 改為 $x=6$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
21 普通求 $\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos 3x\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
22 普通求 $\int_0^{\ln 4}e^{3x}\,dx$ 的值。 只須填寫答案。
-
23 普通求 $\int_{-2}^{2}(2x^{2}-x-3)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
24 普通 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=3x$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積（答案以最簡分數表示）。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$。
-
(c) 若把直線 $x=1$ 改為 $x=2$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
25 進階曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=5x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
26 進階由 $y=x^2$、$x$ 軸及直線 $x=4$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
27 進階$\int_{0}^{\ln 3} e^x\,dx$ 的值是 2。這說法是否正確？
-
28 進階 DSE 長題曲線 $y=6x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
-
(b) 求曲線的最大高度。
-
(c) 求該區域的面積。
-
-
29 進階曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=4x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
30 進階由 $y=\sqrt{x}$、$x$ 軸及直線 $x=4$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。
-
31 進階$\int_{0}^{\ln 9} e^x\,dx$ 的值是 8。這說法是否正確？
-
32 進階 DSE 長題曲線 $y=3x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
-
(b) 求曲線的最大高度（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
-
-
33 進階由 $y=\sqrt{x}$、$x$ 軸及直線 $x=3$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
34 進階由 $y=x^2$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
35 進階$\int_{0}^{\ln 2} e^x\,dx$ 的值是 1。這說法是否正確？
-
36 進階 DSE 長題曲線 $y=2x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
-
(b) 求曲線的最大高度。
-
(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
-
-
37 挑戰求 $\int_0^{\frac{\pi}{8}}\cos 4x\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
38 挑戰求 $\int_0^{\ln 2}e^{2x}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
39 挑戰$\int_{-2}^{3}(x^{2}-3x+7)\,dx$ 的值是 -235/6。這說法是否正確？
-
40 挑戰 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=2x$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 若把直線 $x=1$ 改為 $x=2$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
41 挑戰求 $\int_0^{\frac{\pi}{3}}4\sin 3x\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
-
42 挑戰求 $\int_0^{\ln 3}e^{2x}\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
43 挑戰$\int_{-2}^{3}(-3x^{2}+4x-1)\,dx$ 的值是 30。這說法是否正確？
-
44 挑戰 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=3x$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$。
-
(c) 若把直線 $x=2$ 改為 $x=4$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
45 挑戰求 $\int_0^{\frac{\pi}{8}}4\cos 4x\,dx$ 的值。 選出正確答案。
-
46 挑戰求 $\int_0^{\ln 5}e^{2x}\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
47 挑戰$\int_{0}^{3}(-3x^{2}-x-1)\,dx$ 的值是 69/2。這說法是否正確？
-
48 挑戰 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=2x$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 若把直線 $x=2$ 改為 $x=4$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
-
49 尖子由 $y=3x$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。
-
50 尖子由 $y=x^2$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
51 尖子$\int_0^{\frac{\pi}{6}}4\cos 3x\,dx$ 的值是 4/3。這說法是否正確？
-
52 尖子 DSE 長題曲線 $y=7x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
-
(b) 求曲線的最大高度（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
-
-
53 尖子由 $y=2x$、$x$ 軸及直線 $x=4$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
-
54 尖子由 $y=3x$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
55 尖子$\int_0^{\frac{\pi}{6}}6\sin 6x\,dx$ 的值是 2。這說法是否正確？
-
56 尖子 DSE 長題曲線 $y=4x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
-
(b) 求曲線的最大高度。
-
(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
-
-
57 尖子由 $y=2x$、$x$ 軸及直線 $x=3$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。
-
58 尖子由 $y=2x$、$x$ 軸及直線 $x=1$ 圍成的區域繞 $x$ 軸旋轉一周，所得立體的體積寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
-
59 尖子$\int_{0}^{\ln 8} e^x\,dx$ 的值是 7。這說法是否正確？
-
60 尖子 DSE 長題區域 $R$ 由 $y=x$、$x$ 軸及直線 $x=2$ 圍成。 分題作答，每部分只須填寫答案。
-
(a) 求 $R$ 的面積。
-
(b) 把 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一周，體積寫成 $m\pi$，求 $m$（答案以最簡分數表示）。
-
(c) 若把直線 $x=2$ 改為 $x=4$，求新面積是原來面積的多少倍。
-
報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
定積分及其應用常見錯誤
本課特別要留意定積分的性質與計算、平面面積及旋轉體體積。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。