DSE M2不定積分練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
不定積分是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦原函數、代換積分法、分部積分法、三角函數的積分及積分常數。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理不定積分題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固不定積分的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成不定積分練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
不定積分亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎已知 $F'(x)=2x-3$ 及 $F(0)=2$。求 $F(1)$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎已知 $\int(5x-5)^{6}\,dx=A(5x-5)^{7}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎已知 $\int x(x^{2}+2)^{3}\,dx=A(x^{2}+2)^{4}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎已知 $\int xe^{3x}\,dx=e^{3x}(Ax+B)+C$。常數 $B$ 的值是 1/9。這說法是否正確？
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5 基礎已知 $F'(x)=4x+4$ 及 $F(0)=6$。求 $F(4)$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎已知 $\int(-2x+5)^{3}\,dx=A(-2x+5)^{4}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎已知 $\int 4x(x^{2}-5)^{4}\,dx=A(x^{2}-5)^{5}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎已知 $\int xe^{4x}\,dx=e^{4x}(Ax+B)+C$。常數 $B$ 的值是 1/16。這說法是否正確？
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9 基礎已知 $F'(x)=2x+6$ 及 $F(0)=1$。求 $F(3)$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎已知 $\int(5x+5)^{4}\,dx=A(5x+5)^{5}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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11 基礎已知 $\int 4x(x^{2}-2)^{5}\,dx=A(x^{2}-2)^{6}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎已知 $\int xe^{5x}\,dx=e^{5x}(Ax+B)+C$。常數 $B$ 的值是 1/25。這說法是否正確？
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13 普通已知 $\int x\cos x\,dx=Ax\sin x+B\cos x+C$。求常數 $B$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通已知 $\int x^{2}\ln x\,dx=x^{3}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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15 普通已知 $\int 2\cos 2x\,dx=B\sin 2x+C$。求常數 $B$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=9x^{2}-4x-5$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,9)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=3$ 的 $y$ 坐標。
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17 普通已知 $\int x^{4}\ln x\,dx=x^{5}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通已知 $\int \cos 5x\,dx=B\sin 5x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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19 普通已知 $\int 2\sin 2x\,dx=B\cos 2x+C$。求常數 $B$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-4x+5$，而 $\Gamma$ 經過點 $(1,-4)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=0$ 的 $y$ 坐標。
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21 普通已知 $\int x\cos 3x\,dx=Ax\sin 3x+B\cos 3x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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22 普通已知 $\int x^{4}\ln x\,dx=x^{5}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通已知 $\int 6\cos 6x\,dx=B\sin 6x+C$。求常數 $B$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=6x^{2}+6x-2$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,2)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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25 進階已知 $F'(x)=3x-1$ 及 $F(0)=-3$。求 $F(2)$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階已知 $\int(3x-3)^{2}\,dx=A(3x-3)^{3}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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27 進階已知 $\int x(x^{2}+4)^{5}\,dx=A(x^{2}+4)^{6}+C$。常數 $A$ 的值是 1/12。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=6x^{2}-8x+4$，而 $\Gamma$ 經過點 $(1,7)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=3$ 的 $y$ 坐標。
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29 進階已知 $F'(x)=4x-5$ 及 $F(0)=-5$。求 $F(3)$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階已知 $\int(3x+1)^{4}\,dx=A(3x+1)^{5}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階已知 $\int xe^{2x}\,dx=e^{2x}(Ax+B)+C$。常數 $B$ 的值是 -1/4。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-4x$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,-7)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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33 進階已知 $F'(x)=4x+2$ 及 $F(0)=-3$。求 $F(2)$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階已知 $\int(5x+2)^{6}\,dx=A(5x+2)^{7}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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35 進階已知 $\int 3x(x^{2}+3)^{4}\,dx=A(x^{2}+3)^{5}+C$。常數 $A$ 的值是 3/10。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2x+6$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,4)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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37 挑戰已知 $\int xe^{-2x}\,dx=e^{-2x}(Ax+B)+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰已知 $\int x\sin 5x\,dx=Ax\cos 5x+B\sin 5x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰已知 $\int x\ln x\,dx=x^{2}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。常數 $A$ 的值是 1。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=9x^{2}-8x-4$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,-8)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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41 挑戰已知 $\int xe^{4x}\,dx=e^{4x}(Ax+B)+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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42 挑戰已知 $\int x\cos 4x\,dx=Ax\sin 4x+B\cos 4x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰已知 $\int x\ln x\,dx=x^{2}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。常數 $B$ 的值是 1/4。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2x-3$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,1)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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45 挑戰已知 $\int xe^{2x}\,dx=e^{2x}(Ax+B)+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰已知 $\int x\sin 4x\,dx=Ax\cos 4x+B\sin 4x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰已知 $\int x^{2}\ln x\,dx=x^{3}(A\ln x+B)+C$，其中 $x>0$。常數 $B$ 的值是 1/9。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-6x+1$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,-5)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=0$ 的 $y$ 坐標。
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49 尖子已知 $\int \sin 4x\,dx=B\cos 4x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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50 尖子已知 $F'(x)=6x-6$ 及 $F(0)=8$。求 $F(1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子已知 $\int(4x-2)^{5}\,dx=A(4x-2)^{6}+C$。常數 $A$ 的值是 1/24。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}+8x-5$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,9)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=3$ 的 $y$ 坐標。
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53 尖子已知 $\int 2\sin 6x\,dx=B\cos 6x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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54 尖子已知 $F'(x)=4x+5$ 及 $F(0)=8$。求 $F(3)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子已知 $\int(4x-1)^{4}\,dx=A(4x-1)^{5}+C$。常數 $A$ 的值是 1/20。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}+8x+5$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,0)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=3$ 的 $y$ 坐標。
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57 尖子已知 $\int 2\sin 3x\,dx=B\cos 3x+C$。求常數 $B$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子已知 $F'(x)=4x-5$ 及 $F(0)=4$。求 $F(1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子已知 $\int(-2x-1)^{4}\,dx=A(-2x-1)^{5}+C$。常數 $A$ 的值是 -1/10。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,0)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
不定積分常見錯誤
本課特別要留意原函數、代換積分法、分部積分法、三角函數的積分及積分常數。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。