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DSE M2極限與 e練習

DSE M2　·　60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。

極限與 e是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦極限的計算、sin x/x 與 (e^x-1)/x 的極限及無窮遠處的極限。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。

處理極限與 e題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。

本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固極限與 e的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。

有效溫習不是只看總分。完成極限與 e練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。

極限與 e亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。

本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。

開始練習

  1. 1 基礎
    求 $\lim_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}$ 的值。 選出正確答案。
  2. 2 基礎
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}+8x+1}{x^{2}-1}$ 的值。 只須填寫答案。

  3. 3 基礎
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  4. 4 基礎
    $\lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{x}$ 的值是 1。這說法是否正確？
  5. 5 基礎
    求 $\lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}$ 的值。 選出正確答案。
  6. 6 基礎
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{2}+3x+1}{7x^{2}+1}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  7. 7 基礎
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x}{3x}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  8. 8 基礎
    $\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{x}$ 的值是 1。這說法是否正確？
  9. 9 基礎
    求 $\lim_{x\to -4}\frac{x^2-16}{x+4}$ 的值。 選出正確答案。
  10. 10 基礎
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{2}+3x+1}{2x^{2}+5}$ 的值。 只須填寫答案。

  11. 11 基礎
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 9x}{2x}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  12. 12 基礎
    $\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ 的值是 1。這說法是否正確？
  13. 13 普通
    求 $\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}$ 的值。 選出正確答案。
  14. 14 普通
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{2}-3x+1}{2x^{2}-8}$ 的值。 只須填寫答案。

  15. 15 普通
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{3x}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  16. 16 普通 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  17. 17 普通
    求 $\lim_{x\to -5}\frac{x^2-25}{x+5}$ 的值。 選出正確答案。
  18. 18 普通
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{6x^{2}-7x+1}{4x^{2}-7}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  19. 19 普通
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{6x}-1}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  20. 20 普通 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  21. 21 普通
    求 $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$ 的值。 選出正確答案。
  22. 22 普通
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-9x+1}{4x^{2}+5}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  23. 23 普通
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 9x}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  24. 24 普通 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  25. 25 進階
    求 $\lim_{x\to -6}\frac{x^2-36}{x+6}$ 的值。 選出正確答案。
  26. 26 進階
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^{2}+6x+1}{7x^{2}-5}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  27. 27 進階
    $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}-2x+1}{7x^{2}}$ 的值是 2/7。這說法是否正確？
  28. 28 進階 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x-6}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  29. 29 進階
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{8x}-1}{x}$ 的值。 選出正確答案。
  30. 30 進階
    求 $\lim_{x\to 7}\frac{x^2-49}{x-7}$ 的值。 只須填寫答案。

  31. 31 進階
    $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}+3x+1}{4x^{2}-2}$ 的值是 5/4。這說法是否正確？
  32. 32 進階 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-x}$
  33. 33 進階
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{x}$ 的值。 選出正確答案。
  34. 34 進階
    求 $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ 的值。 只須填寫答案。

  35. 35 進階
    $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-6x+1}{7x^{2}-3}$ 的值是 5/7。這說法是否正確？
  36. 36 進階 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  37. 37 挑戰
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
  38. 38 挑戰
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1}{x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  39. 39 挑戰
    $\lim_{x\to 7}\frac{x^2-49}{x-7}$ 的值是 7。這說法是否正確？
  40. 40 挑戰 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  41. 41 挑戰
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 9x}{3x}$ 的值。 選出正確答案。
  42. 42 挑戰
    求 $\lim_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x-6}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  43. 43 挑戰
    $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$ 的值是 5。這說法是否正確？
  44. 44 挑戰 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  45. 45 挑戰
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{x}$ 的值。 選出正確答案。
  46. 46 挑戰
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^{2}-7x+1}{4x^{2}-2}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  47. 47 挑戰
    $\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}$ 的值是 -1。這說法是否正確？
  48. 48 挑戰 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  49. 49 尖子
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-3x+1}{4x^{2}+7}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  50. 50 尖子
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 6x}{2x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  51. 51 尖子
    $\lim_{x\to -4}\frac{x^2-16}{x+4}$ 的值是 -8。這說法是否正確？
  52. 52 尖子 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{4x^2-x}$（答案以最簡分數表示）
  53. 53 尖子
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-9x+1}{x^{2}+4}$ 的值。 只須填寫答案。

  54. 54 尖子
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  55. 55 尖子
    $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-9x+1}{7x^{2}+8}$ 的值是 3/7。這說法是否正確？
  56. 56 尖子 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+1}{x^2-x}$
  57. 57 尖子
    求 $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}-8x+1}{2x^{2}-8}$ 的值。 只須填寫答案。

  58. 58 尖子
    求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{2x}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  59. 59 尖子
    $\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{x}$ 的值是 5。這說法是否正確？
  60. 60 尖子 DSE 長題
    求下列極限。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) $\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
    2. (b) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}$
    3. (c) $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-x}$

報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。

常見錯誤

極限與 e常見錯誤

本課特別要留意極限的計算、sin x/x 與 (e^x-1)/x 的極限及無窮遠處的極限。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。

DSE M2其他課題

DSE M2混合溫習（自選課題隨機出卷）→ 我的錯題簿 →

同一類題目一直錯？

重複錯同一步，通常不是不夠操練，而是前面某個概念未通。試堂時我們會先找出那一步。

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