DSE M2數學歸納法練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
數學歸納法是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦起始步驟、歸納假設、歸納步驟，應用於求和、整除及不等式。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理數學歸納法題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固數學歸納法的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成數學歸納法練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
數學歸納法亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。求 $1^2+2^2+\dots+6^2$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎用數學歸納法證明 $5^n-1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 4 整除。求起始步驟 $n=1$ 時該式的值。 只須填寫答案。
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3 基礎用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=6$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎不等式 $n!>2^n$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 3。這說法是否正確？
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5 基礎可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。求 $1^3+2^3+\dots+13^3$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎用數學歸納法證明 $7^n+5$ 對所有正整數 $n$ 都能被 6 整除。求起始步驟 $n=1$ 時該式的值。 只須填寫答案。
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7 基礎用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=9$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎不等式 $n!>3^n$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 6。這說法是否正確？
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9 基礎可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。求 $1^3+2^3+\dots+6^3$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎用數學歸納法證明 $7^n-1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 6 整除。求起始步驟 $n=1$ 時該式的值。 只須填寫答案。
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11 基礎用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=8$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎不等式 $3^n>n^3$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 3。這說法是否正確？
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13 普通可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。求 $1^3+2^3+\dots+8^3$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通用數學歸納法證明 $9^n-1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 8 整除。歸納步驟中把 $9^{k+1}-1$ 寫成 $9(9^k-1)+q$。求常數 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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15 普通用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=5$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=14$ 推至 $n=15$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(14)$。
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17 普通可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。求 $1^2+2^2+\dots+7^2$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通用數學歸納法證明 $5^n+3$ 對所有正整數 $n$ 都能被 4 整除。歸納步驟中把 $5^{k+1}+3$ 寫成 $5(5^k+3)+q$。求常數 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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19 普通用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r(r+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=11$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1\times 2+2\times 3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=12$ 推至 $n=13$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(12)$。
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21 普通可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。求 $1^2+2^2+\dots+20^2$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通用數學歸納法證明 $5^n-1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 4 整除。歸納步驟中把 $5^{k+1}-1$ 寫成 $5(5^k-1)+q$。求常數 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r(r+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=8$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=11$ 推至 $n=12$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(11)$。
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25 進階可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$。求 $\frac{1}{1\times 2}+\dots+\frac{1}{19\times20}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。求 $1+3+\dots+35$ 的值。 只須填寫答案。
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27 進階用數學歸納法證明 $6^n+4$ 對所有正整數 $n$ 都能被 5 整除。歸納步驟中把 $6^{k+1}+4$ 寫成 $6(6^k+4)+q$。常數 $q$ 的值是 -20。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=12$ 推至 $n=13$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(12)$。
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29 進階不等式 $2^n>n^2$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。求最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）。 選出正確答案。
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30 進階可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。求 $1+3+\dots+39$ 的值。 只須填寫答案。
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31 進階用數學歸納法證明 $9^n+7$ 對所有正整數 $n$ 都能被 8 整除。歸納步驟中把 $9^{k+1}+7$ 寫成 $9(9^k+7)+q$。常數 $q$ 的值是 -56。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=10$ 推至 $n=11$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(10)$。
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33 進階不等式 $n!>3^n$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。求最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）。 選出正確答案。
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34 進階可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。求 $1^2+2^2+\dots+10^2$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階用數學歸納法證明 $4^n+2$ 對所有正整數 $n$ 都能被 3 整除。起始步驟 $n=1$ 時該式的值是 6。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=8$ 推至 $n=9$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(8)$。
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37 挑戰用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=9$ 時所加的項的值。 選出正確答案。
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38 挑戰不等式 $2^n>2n+1$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。求最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。$1^3+2^3+\dots+18^3$ 的值是 29259。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=14$ 推至 $n=15$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(14)$。
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41 挑戰用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}\frac{r(r+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=12$ 時所加的項的值。 選出正確答案。
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42 挑戰可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。求 $1^3+2^3+\dots+8^3$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。$1+3+\dots+9$ 的值是 30。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1\times 2+2\times 3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=7$ 推至 $n=8$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(7)$。
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45 挑戰用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}\frac{r(r+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=10$ 時所加的項的值。 選出正確答案。
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46 挑戰不等式 $n!>2^n$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。求最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。$1^3+2^3+\dots+10^3$ 的值是 3035。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=13$ 推至 $n=14$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(13)$。
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49 尖子用數學歸納法證明 $3^n+1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 2 整除。歸納步驟中把 $3^{k+1}+1$ 寫成 $3(3^k+1)+q$。求常數 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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50 尖子用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}r\cdot 2^{r}=(n-1)2^{n+1}+2$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=3$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子不等式 $2^n>n^2$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 5。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1\times 2+2\times 3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=9$ 推至 $n=10$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(9)$。
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53 尖子用數學歸納法證明 $4^n+2$ 對所有正整數 $n$ 都能被 3 整除。歸納步驟中把 $4^{k+1}+2$ 寫成 $4(4^k+2)+q$。求常數 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}(2r-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=9$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子不等式 $n!>2^n$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 4。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=9$ 推至 $n=10$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(9)$。
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57 尖子用數學歸納法證明 $9^n-1$ 對所有正整數 $n$ 都能被 8 整除。求起始步驟 $n=1$ 時該式的值。 只須填寫答案。
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58 尖子用數學歸納法證明 $\sum_{r=1}^{n}\frac{r(r+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。假設 $n=k$ 時成立，要證明 $n=k+1$ 時亦成立，須在兩邊加上第 $k+1$ 項。求當 $k=11$ 時所加的項的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子不等式 $2^n>2n+1$ 對所有整數 $n\ge N$ 成立，可用數學歸納法證明，並以 $n=N$ 作起始步驟。最小可行的正整數 $N$（使不等式對 $n=N$ 成立而對 $n=N-1$ 不成立）是 3。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題可用數學歸納法證明，對所有正整數 $n$，$S(n)=1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 起始步驟：求 $n=1$ 時右邊的值。
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(b) 歸納步驟：由 $n=11$ 推至 $n=12$ 時，求兩邊所加的項。
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(c) 求 $S(11)$。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
數學歸納法常見錯誤
本課特別要留意起始步驟、歸納假設、歸納步驟，應用於求和、整除及不等式。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。