DSE M2向量練習

DSE M2　·　60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。

向量是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦向量運算、純量積、向量積、夾角、投影、面積及純量三重積。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。

處理向量題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。

本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固向量的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。

有效溫習不是只看總分。完成向量練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。

向量亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。

本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。

開始練習

1 基礎

$\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。選出正確答案。
- A 16
- B -4
- C 4
- D 5
2 基礎

$\mathbf{v}=12\mathbf{i}-16\mathbf{j}-21\mathbf{k}$。求 $|\mathbf{v}|$。只須填寫答案。

你的答案
3 基礎

$\mathbf{a}=(4,-1,-2)$、$\mathbf{b}=(4,1,0)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{i}$ 分量。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
4 基礎

$\mathbf{a}=(2,4,2)$ 與 $\mathbf{b}=(-4,-4,k)$ 互相垂直。$k$ 的值是 -12。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
5 基礎

$\mathbf{a}=6\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=\mathbf{i}-5\mathbf{j}+\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。選出正確答案。
- A 0
- B 12
- C 1
- D -1
6 基礎

$\mathbf{v}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+12\mathbf{k}$。求 $|\mathbf{v}|$。只須填寫答案。

你的答案
7 基礎

$\mathbf{a}=(1,-4,-1)$、$\mathbf{b}=(3,-1,0)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{j}$ 分量。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
8 基礎

$\mathbf{a}=(3,5,-2)$ 與 $\mathbf{b}=(2,4,k)$ 互相垂直。$k$ 的值是 -13。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
9 基礎

$\mathbf{a}=6\mathbf{i}-5\mathbf{j}+6\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-2\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。選出正確答案。
- A 17
- B -7
- C -17
- D 18
10 基礎

$\mathbf{v}=-6\mathbf{i}+8\mathbf{j}+24\mathbf{k}$。求 $|\mathbf{v}|$。只須填寫答案。

你的答案
11 基礎

$\mathbf{a}=(-3,2,1)$、$\mathbf{b}=(3,0,-4)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{i}$ 分量。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
12 基礎

$\mathbf{a}=(1,-4,-3)$ 與 $\mathbf{b}=(3,2,k)$ 互相垂直。$k$ 的值是 5/3。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
13 普通

$\mathbf{u}=-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}$、$\mathbf{w}=8\mathbf{i}+15\mathbf{j}$。求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。選出正確答案。
- A -123/289
- B -123/17
- C -123
- D -122/17
14 普通

$\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=\mathbf{i}-\mathbf{k}$。求三角形 $OAB$（其中 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$）的面積（答案以最簡分數表示）。只須填寫答案。

你的答案
15 普通

$\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-6\mathbf{i}-6\mathbf{j}-7\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
16 普通 DSE 長題

$\mathbf{u}=(-1,-5)$、$\mathbf{w}=(6,8)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
17 普通

$\mathbf{u}=-5\mathbf{i}-6\mathbf{j}$、$\mathbf{w}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}$。求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。選出正確答案。
- A -97/169
- B -97
- C -96/13
- D -97/13
18 普通

$\mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 張成的平行四邊形的面積。只須填寫答案。

你的答案
19 普通

$\mathbf{a}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
20 普通 DSE 長題

$\mathbf{u}=(6,4)$、$\mathbf{w}=(8,15)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
21 普通

$\mathbf{u}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}$、$\mathbf{w}=6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$。求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。選出正確答案。
- A 2/25
- B 4/5
- C 8
- D 1
22 普通

$\mathbf{a}=-2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=2\mathbf{i}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 張成的平行四邊形的面積。只須填寫答案。

你的答案
23 普通

$\mathbf{a}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-6\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
24 普通 DSE 長題

$\mathbf{u}=(0,2)$、$\mathbf{w}=(6,8)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
25 進階

$\mathbf{a}=-\mathbf{i}-3\mathbf{j}+3\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{c}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積。選出正確答案。
- A 2/3
- B 2
- C 5
- D 4
26 進階

$\mathbf{a}=-\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。只須填寫答案。

你的答案
27 進階

$\mathbf{v}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-12\mathbf{k}$。$|\mathbf{v}|$是 13。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
28 進階 DSE 長題

$\mathbf{u}=(4,6)$、$\mathbf{w}=(6,8)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
29 進階

$\mathbf{a}=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{c}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積。選出正確答案。
- A 10/3
- B 10
- C 20
- D 21
30 進階

$\mathbf{a}=-5\mathbf{i}+2\mathbf{j}-5\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。只須填寫答案。

你的答案
31 進階

$\mathbf{v}=5\mathbf{i}-12\mathbf{j}-84\mathbf{k}$。$|\mathbf{v}|$是 85。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
32 進階 DSE 長題

$\mathbf{u}=(2,4)$、$\mathbf{w}=(6,8)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
33 進階

$\mathbf{a}=-2\mathbf{i}-3\mathbf{j}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}$、$\mathbf{c}=-3\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積。選出正確答案。
- A 22/3
- B 22
- C 44
- D 45
34 進階

$\mathbf{a}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$。求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$。只須填寫答案。

你的答案
35 進階

$\mathbf{v}=-6\mathbf{i}+8\mathbf{j}-24\mathbf{k}$。$|\mathbf{v}|$是 26。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
36 進階 DSE 長題

$\mathbf{u}=(-1,1)$、$\mathbf{w}=(6,8)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
37 挑戰

$\mathbf{a}=(-1,3,0)$、$\mathbf{b}=(4,3,0)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{j}$ 分量。選出正確答案。
- A 0
- B -15
- C 1
- D -1
38 挑戰

$\mathbf{a}=(3,-1,-3)$ 與 $\mathbf{b}=(-1,-1,k)$ 互相垂直。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
39 挑戰

$\mathbf{a}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。三角形 $OAB$（其中 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$）的面積是 31。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
40 挑戰 DSE 長題

$\mathbf{u}=(0,-1)$、$\mathbf{w}=(5,12)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
41 挑戰

$\mathbf{a}=(5,-1,0)$、$\mathbf{b}=(-2,0,0)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{k}$ 分量。選出正確答案。
- A 2
- B -2
- C 1
- D -1
42 挑戰

$\mathbf{a}=(2,5,2)$ 與 $\mathbf{b}=(4,5,k)$ 互相垂直。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
43 挑戰

$\mathbf{u}=5\mathbf{i}+7\mathbf{j}$、$\mathbf{w}=8\mathbf{i}+15\mathbf{j}$。$\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影是 145/289。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
44 挑戰 DSE 長題

$\mathbf{u}=(-1,6)$、$\mathbf{w}=(8,15)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
45 挑戰

$\mathbf{a}=(-2,5,3)$、$\mathbf{b}=(-3,-4,1)$。求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 的 $\mathbf{i}$ 分量。選出正確答案。
- A -17
- B -7
- C 18
- D 17
46 挑戰

$\mathbf{a}=(5,1,2)$ 與 $\mathbf{b}=(-3,-2,k)$ 互相垂直。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
47 挑戰

$\mathbf{u}=-2\mathbf{i}-3\mathbf{j}$、$\mathbf{w}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$。$\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影是 -18/25。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
48 挑戰 DSE 長題

$\mathbf{u}=(-5,-5)$、$\mathbf{w}=(8,15)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
49 尖子

$\mathbf{a}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 張成的平行四邊形的面積。只須填寫答案。

你的答案
50 尖子

$\mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=9\mathbf{i}-6\mathbf{j}-2\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
51 尖子

$\mathbf{a}=-\mathbf{i}-\mathbf{j}-2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-\mathbf{i}$、$\mathbf{c}=-\mathbf{i}-2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$。由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積是 2。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
52 尖子 DSE 長題

$\mathbf{u}=(2,2)$、$\mathbf{w}=(8,15)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
53 尖子

$\mathbf{a}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 張成的平行四邊形的面積。只須填寫答案。

你的答案
54 尖子

$\mathbf{a}=-2\mathbf{i}-2\mathbf{j}-\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=4\mathbf{i}+\mathbf{j}+8\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
55 尖子

$\mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=4\mathbf{i}-3\mathbf{k}$、$\mathbf{c}=-2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$。由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積是 37。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
56 尖子 DSE 長題

$\mathbf{u}=(-2,-5)$、$\mathbf{w}=(3,4)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案
57 尖子

$\mathbf{a}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}-3\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$。求由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 張成的平行四邊形的面積。只須填寫答案。

你的答案
58 尖子

$\mathbf{a}=-4\mathbf{i}-\mathbf{j}-8\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=6\mathbf{i}+7\mathbf{j}+6\mathbf{k}$，兩者夾角為 $\theta$。求 $\cos\theta$ 的值（答案以最簡分數表示）。寫出主要步驟並填寫答案。

你的答案
59 尖子

$\mathbf{a}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$、$\mathbf{b}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$、$\mathbf{c}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}-3\mathbf{k}$。由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 張成的平行六面體的體積是 6。這說法是否正確？
- T 正確
- F 錯誤
60 尖子 DSE 長題

$\mathbf{u}=(2,-5)$、$\mathbf{w}=(8,15)$。分題作答，每部分只須填寫答案。
1. (a) 求 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$。
  此部分的答案
2. (b) 求 $|\mathbf{w}|$。
  此部分的答案
3. (c) 求 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{w}$ 上的純量投影（答案以最簡分數表示）。
  此部分的答案

報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。

常見錯誤

向量常見錯誤

本課特別要留意向量運算、純量積、向量積、夾角、投影、面積及純量三重積。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。

DSE M2其他課題

DSE M2混合溫習（自選課題隨機出卷）→ 我的錯題簿 →

同一類題目一直錯？

重複錯同一步，通常不是不夠操練，而是前面某個概念未通。試堂時我們會先找出那一步。

預約試堂 WhatsApp 查詢