跳至主要內容

DSE M2線性方程組練習

DSE M2　·　60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。

線性方程組是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦克萊瑪法則、三元一次方程組、唯一解、無解及無窮多解的判斷。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。

處理線性方程組題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。

本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固線性方程組的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。

有效溫習不是只看總分。完成線性方程組練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。

線性方程組亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。

本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。

開始練習

  1. 1 基礎
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}3x+2y=10\\3x-y=4\end{cases}$。求 $y$ 的值。 選出正確答案。
  2. 2 基礎
    方程組 $\begin{cases}x+2y=1\\2x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。

  3. 3 基礎
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+2y+2z=6\\-x+2y+2z=-10\\3x+z=11\end{cases}$。求 $y$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  4. 4 基礎
    方程組 $\begin{cases}2x+3y+3z=5\\-x+y+z=1\\5y+5z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。使方程組有無窮多組解的 $c$ 值是 3。這說法是否正確？
  5. 5 基礎
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}3x-y=-5\\3x-3y=3\end{cases}$。求 $y$ 的值。 選出正確答案。
  6. 6 基礎
    方程組 $\begin{cases}2x+3y=1\\2x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 只須填寫答案。

  7. 7 基礎
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+2y-2z=11\\3x+y-2z=10\\2y+z=2\end{cases}$。求 $x$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  8. 8 基礎
    方程組 $\begin{cases}-2x-y+2z=3\\-x-y+z=-4\\-4x-3y+4z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。使方程組有無窮多組解的 $c$ 值是 11。這說法是否正確？
  9. 9 基礎
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}x-y=-3\\2x-y=-6\end{cases}$。求 $y$ 的值。 選出正確答案。
  10. 10 基礎
    方程組 $\begin{cases}4x+5y=1\\6x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  11. 11 基礎
    考慮方程組 $\begin{cases}-x+2y+z=-3\\-x+3y-2z=-18\\3x-2y=9\end{cases}$。求 $y$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  12. 12 基礎
    方程組 $\begin{cases}-x=5\\3x+3y+z=4\\-4x-3y-z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。使方程組有無窮多組解的 $c$ 值是 9。這說法是否正確？
  13. 13 普通
    方程組 $\begin{cases}2x-2y+2z=1\\-2x+y=2\\3y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 選出正確答案。
  14. 14 普通
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}3x+2y=15\\3x-3y=0\end{cases}$。求 $x$ 的值。 只須填寫答案。

  15. 15 普通
    方程組 $\begin{cases}x+3y=1\\2x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  16. 16 普通 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}2x+y=3\\-x+3y=-12\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  17. 17 普通
    方程組 $\begin{cases}-2x+3y-z=1\\-x+3y=2\\3x-2y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
  18. 18 普通
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}2x+2y=4\\-x+y=-2\end{cases}$。求 $y$ 的值。 只須填寫答案。

  19. 19 普通
    方程組 $\begin{cases}2x+5y=1\\4x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  20. 20 普通 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+y=2\\x+y=-2\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  21. 21 普通
    方程組 $\begin{cases}x-2y-z=1\\-x-2y+z=2\\-2x-2y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 選出正確答案。
  22. 22 普通
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}2x-y=-1\\2x-3y=-3\end{cases}$。求 $y$ 的值。 只須填寫答案。

  23. 23 普通
    方程組 $\begin{cases}2x+2y=1\\4x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  24. 24 普通 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+3y=-3\\-x-2y=-1\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  25. 25 進階
    考慮方程組 $\begin{cases}x-2z=0\\-x+3y+3z=-4\\x-y-z=0\end{cases}$。求 $x$ 的值。 選出正確答案。
  26. 26 進階
    方程組 $\begin{cases}-2x+y+3z=0\\x-2y+2z=-4\\-3x+3y+z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  27. 27 進階
    方程組 $\begin{cases}-x+2y+z=1\\-x+3z=2\\-x-2y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。$k$ 的值是 5。這說法是否正確？
  28. 28 進階 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}x+y+z=-3\\-2x+2y-z=5\\3x+2y-2z=-4\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。
  29. 29 進階
    考慮方程組 $\begin{cases}x+2y+2z=4\\-x+y-2z=-1\\3x-y-2z=13\end{cases}$。求 $z$ 的值。 選出正確答案。
  30. 30 進階
    方程組 $\begin{cases}3x+2y+3z=-1\\3x-2y+2z=6\\9x-2y+7z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  31. 31 進階
    方程組 $\begin{cases}3x-y+3z=1\\-2x-2y-z=2\\3x-2y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。$k$ 的值是 27/8。這說法是否正確？
  32. 32 進階 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}x+y=2\\y+z=1\\y=4\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。
  33. 33 進階
    考慮方程組 $\begin{cases}-2x-z=8\\-x+2y+z=3\\2x-2y-z=-6\end{cases}$。求 $y$ 的值。 選出正確答案。
  34. 34 進階
    方程組 $\begin{cases}x-2y+3z=-4\\3y+z=5\\x+y+4z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  35. 35 進階
    方程組 $\begin{cases}3x-2y=1\\-x+3y=2\\-x-y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。$k$ 的值是 0。這說法是否正確？
  36. 36 進階 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}-x+y+z=-4\\-2x+2z=-6\\z=-3\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。
  37. 37 挑戰
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}2x+y=-2\\-x-3y=1\end{cases}$。求 $x$ 的值。 選出正確答案。
  38. 38 挑戰
    方程組 $\begin{cases}3x+2y=1\\3x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  39. 39 挑戰
    考慮方程組 $\begin{cases}-x-y+2z=-4\\x+3y+3z=22\\2y+2z=12\end{cases}$。$y$ 的值是 2。這說法是否正確？
  40. 40 挑戰 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}2x+3y=-16\\-x-2y=10\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  41. 41 挑戰
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}3x-y=-21\\-x+y=11\end{cases}$。求 $x$ 的值。 選出正確答案。
  42. 42 挑戰
    方程組 $\begin{cases}3x+3y=1\\6x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  43. 43 挑戰
    考慮方程組 $\begin{cases}2y-z=-7\\3x-2y+z=10\\-2x+2y=-6\end{cases}$。$x$ 的值是 -2。這說法是否正確？
  44. 44 挑戰 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+y=3\\2x-2y=10\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  45. 45 挑戰
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}x-y=9\\3x-y=17\end{cases}$。求 $x$ 的值。 選出正確答案。
  46. 46 挑戰
    方程組 $\begin{cases}3x+2y=1\\4x+ky=5\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  47. 47 挑戰
    考慮方程組 $\begin{cases}x+3y-z=7\\3x+y-2z=4\\-2x-y+z=-3\end{cases}$。$z$ 的值是 0。這說法是否正確？
  48. 48 挑戰 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}2x+3y=-3\\x+3y=0\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
  49. 49 尖子
    方程組 $\begin{cases}2x-y=-3\\3x+y-2z=4\\-x-2y+2z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  50. 50 尖子
    方程組 $\begin{cases}x-2y+2z=1\\-x-y-z=2\\2x+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  51. 51 尖子
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}x+2y=12\\3x-y=15\end{cases}$。$x$ 的值是 6。這說法是否正確？
  52. 52 尖子 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}2x+y-2z=0\\3x+2y=5\\3x-z=7\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。
  53. 53 尖子
    方程組 $\begin{cases}2x+3y+3z=1\\-2z=1\\2x+3y+z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  54. 54 尖子
    方程組 $\begin{cases}3x+2y+3z=1\\-x+2z=2\\2x+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  55. 55 尖子
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}x+2y=1\\3x+y=13\end{cases}$。$x$ 的值是 5。這說法是否正確？
  56. 56 尖子 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}2x-z=2\\3x-y-2z=1\\-2x+2y+3z=0\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。
  57. 57 尖子
    方程組 $\begin{cases}-x+2y+2z=0\\3x+3y+3z=3\\5x+8y+8z=c\end{cases}$ 的係數行列式為零。求使方程組有無窮多組解的 $c$ 值。 只須填寫答案。

  58. 58 尖子
    方程組 $\begin{cases}2x+2y-2z=1\\-x-2y+3z=2\\-2x+2y+kz=3\end{cases}$ 沒有唯一解。求 $k$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  59. 59 尖子
    用克萊瑪法則解 $\begin{cases}x+2y=-7\\-x+y=-8\end{cases}$。$x$ 的值是 3。這說法是否正確？
  60. 60 尖子 DSE 長題
    考慮方程組 $\begin{cases}3x+y+3z=3\\x-2y-z=6\\-x+2y-z=-8\end{cases}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求係數行列式 $\Delta$。
    2. (b) 求 $x$。
    3. (c) 求 $y$。
    4. (d) 求 $z$。

報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。

常見錯誤

線性方程組常見錯誤

本課特別要留意克萊瑪法則、三元一次方程組、唯一解、無解及無窮多解的判斷。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。

DSE M2其他課題

DSE M2混合溫習（自選課題隨機出卷）→ 我的錯題簿 →

同一類題目一直錯？

重複錯同一步，通常不是不夠操練，而是前面某個概念未通。試堂時我們會先找出那一步。

預約試堂 WhatsApp 查詢
WhatsApp