DSE M2三角函數練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
三角函數是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦弧度、弧長與扇形、複角與倍角公式、積化和差及三角方程。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理三角函數題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固三角函數的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成三角函數練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
三角函數亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎把 $240^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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2 基礎扇形的半徑為 7 cm，圓心角為 $\frac{5}{6}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求弧長中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎已知 $\tan A=2$、$\tan B=\frac{1}{3}$。求 $\tan(A-B)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{15}{8}$。$\tan 2A$ 的值是 30/17。這說法是否正確？
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5 基礎把 $270^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎扇形的半徑為 5 cm，圓心角為 $\frac{1}{6}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求面積中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎已知 $\tan A=\frac{2}{3}$、$\tan B=\frac{1}{3}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{5}{12}$。$\sin 2A$ 的值是 10/13。這說法是否正確？
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9 基礎把 $210^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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10 基礎扇形的半徑為 6 cm，圓心角為 $\frac{1}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求弧長中 $k$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎已知 $\tan A=\frac{2}{3}$、$\tan B=\frac{1}{2}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{7}{24}$。$\cos 2A$ 的值是 14/25。這說法是否正確？
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13 普通考慮方程 $\sin 4x=\frac{1}{2}$，其中 $0\le x<2\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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14 普通把 $2\cos 6x\cos 2x$ 寫成 $\cos Ax+\cos Bx$，其中 $A>B>0$。求 $B$ 的值。 只須填寫答案。
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15 普通把 $72^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{5}{12}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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17 普通考慮方程 $\tan 3x=1$，其中 $0\le x<\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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18 普通把 $2\cos 5x\cos 3x$ 寫成 $\cos Ax+\cos Bx$，其中 $A>B>0$。求 $B$ 的值。 只須填寫答案。
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19 普通把 $30^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{12}{5}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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21 普通考慮方程 $\sin 2x=\frac{1}{2}$，其中 $0\le x<2\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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22 普通把 $2\sin 6x\cos 2x$ 寫成 $\sin Ax+\sin Bx$，其中 $A>B>0$。求 $A$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通把 $300^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。求 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題$\theta$ 是銳角，$\sin\theta=\frac{4}{5}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\cos\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\tan\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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25 進階扇形的半徑為 7 cm，圓心角為 $\frac{2}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求面積中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階已知 $\tan A=2$、$\tan B=\frac{1}{5}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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27 進階$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{4}{3}$。$\sin 2A$ 的值是 24/25。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{15}{8}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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29 進階扇形的半徑為 11 cm，圓心角為 $\frac{2}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求面積中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階已知 $\tan A=\frac{1}{3}$、$\tan B=\frac{3}{4}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{7}{24}$。$\tan 2A$ 的值是 336/527。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{3}{4}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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33 進階扇形的半徑為 8 cm，圓心角為 $\frac{1}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求弧長中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階已知 $\tan A=\frac{1}{4}$、$\tan B=\frac{1}{2}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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35 進階$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{3}{4}$。$\cos 2A$ 的值是 7/25。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題$\theta$ 是銳角，$\sin\theta=\frac{77}{85}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\cos\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\tan\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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37 挑戰考慮方程 $\cos 3x=0$，其中 $0\le x<2\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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38 挑戰把 $2\sin 5x\cos 2x$ 寫成 $\sin Ax+\sin Bx$，其中 $A>B>0$。求 $A$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰把 $120^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。$k$ 的值是 3/2。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{4}{3}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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41 挑戰考慮方程 $\tan 4x=1$，其中 $0\le x<\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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42 挑戰把 $2\sin 8x\sin 5x$ 寫成 $\cos Bx-\cos Ax$，其中 $A>B>0$。求 $A$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰扇形的半徑為 11 cm，圓心角為 $\frac{3}{4}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。面積中 $k$ 的值是 33/4。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{7}{24}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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45 挑戰考慮方程 $\tan 2x=1$，其中 $0\le x<\pi$。求解的數目。 選出正確答案。
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46 挑戰把 $2\cos 6x\cos x$ 寫成 $\cos Ax+\cos Bx$，其中 $A>B>0$。求 $B$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰把 $150^\circ$ 化為弧度，寫成 $k\pi$。$k$ 的值是 6/5。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題$\theta$ 是銳角，$\sin\theta=\frac{5}{13}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\cos\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\tan\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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49 尖子扇形的半徑為 7 cm，圓心角為 $\frac{3}{4}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求面積中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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50 尖子已知 $\tan A=\frac{1}{3}$、$\tan B=\frac{1}{5}$。求 $\tan(A+B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{20}{21}$。$\tan 2A$ 的值是 840/41。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{20}{21}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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53 尖子扇形的半徑為 10 cm，圓心角為 $\frac{1}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求弧長中 $k$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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54 尖子已知 $\tan A=\frac{2}{3}$、$\tan B=\frac{1}{3}$。求 $\tan(A-B)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{8}{15}$。$\sin 2A$ 的值是 240/289。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題$A$ 是銳角，而 $\tan A=\frac{8}{15}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\sin A$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\cos A$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin 2A$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos 2A$（答案以最簡分數表示）。
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57 尖子扇形的半徑為 3 cm，圓心角為 $\frac{1}{3}\pi$ 弧度。答案寫成 $k\pi$。求弧長中 $k$ 的值。 只須填寫答案。
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58 尖子已知 $\tan A=3$、$\tan B=\frac{3}{4}$。求 $\tan(A+B)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子$A$ 是銳角，$\tan A=\frac{4}{3}$。$\cos 2A$ 的值是 -7/25。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題$\theta$ 是銳角，$\sin\theta=\frac{3}{5}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\cos\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(b) 求 $\tan\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求 $\sin2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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(d) 求 $\cos2\theta$（答案以最簡分數表示）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
三角函數常見錯誤
本課特別要留意弧度、弧長與扇形、複角與倍角公式、積化和差及三角方程。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。