DSE數學M1延伸單元：微積分入門必讀｜專業數學補習全方位攻略

作者：格致理學數學補習中心 | 更新日期：2025年12月

目錄

• M1延伸單元簡介
• 微積分基礎概念
• 極限與連續性
• 導數與微分法
• 積分法入門
• 統計學應用
• DSE M1應試技巧
• 常見錯誤與解決方法
• 高效溫習計劃
• 為何選擇專業數學補習

M1延伸單元簡介：為何選修DSE數學M1？

DSE數學M1（單元一：微積分與統計）是香港中學文憑試的數學延伸部分，專為數學能力較強、希望在大學修讀理科、商科或工程學科的學生而設。選修M1不但能加深對數學的認識，更是入讀大學神科的重要籌碼。若你正考慮補習數學延伸單元，了解M1的課程結構至為重要。

M1課程主要涵蓋三大範疇：基礎知識、微積分及統計學。與Core數學不同，M1著重數學在實際問題中的應用，例如計算變化率、分析數據趨勢等。不少學生發現M1內容較為抽象，因此選擇透過數學補習課程來鞏固基礎、掌握解題技巧。

M1課程的獨特價值

修讀M1能為學生帶來多方面的優勢。首先，M1是不少大學學科的入學要求或優先考慮條件，包括精算學、統計學、經濟學、工程學等。其次，M1訓練學生的邏輯思維和分析能力，這些軟技能在各行各業均十分受用。第三，M1的內容與大學一年級數學課程銜接緊密，提早學習能令大學學習更順暢。

不少Band 1中學的學生會同時修讀Core和M1，以增加入讀心儀大學學科的機會。若你希望在M1取得理想成績，及早開始補數學、打好微積分基礎是成功的關鍵。格致理學數學補習中心專門為Band 1中學學生提供M1課程，助你在DSE中脫穎而出。

微積分基礎概念：從零開始理解變化的數學

微積分是研究「變化」的數學分支，在物理學、工程學、經濟學等領域有廣泛應用。對於初接觸微積分的學生來說，理解其核心概念往往是最大的挑戰。透過專業的數學補習，學生能更有系統地掌握這門學科的精髓。

微積分的兩大支柱：微分與積分

微積分由兩個互為相關的部分組成：微分（Differentiation）和積分（Integration）。微分研究函數的瞬時變化率，例如速度就是位移對時間的導數；積分則是微分的逆運算，用於計算累積量，如面積、體積等。理解這兩者的關係是學好微積分的第一步。

在補習數學M1課程中，導師會先從直觀的角度解釋微積分的概念，例如利用圖像說明導數代表曲線的斜率，積分代表曲線下的面積。這種視覺化的教學方法能幫助學生建立正確的數學直覺，避免只懂死記公式而不明原理。

函數的基本概念回顧

學習微積分之前，必須對函數有扎實的認識。M1課程會涉及多種函數，包括多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數等。每種函數都有其獨特的性質和圖像特徵，學生需要熟練掌握才能應付微積分的各種運算。

指數函數和對數函數是M1的重點內容之一。特別是自然對數（ln）和數學常數e（約等於2.71828），它們在微積分中有特殊的地位。透過補數學課程，學生能深入理解e的定義及其在導數計算中的應用，這對於解答DSE的高分題目尤為重要。

二項式定理與數學歸納法

二項式定理是M1基礎知識部分的核心內容，它描述了(a+b)^n展開式的規律。學生需要掌握二項式係數的計算方法，以及如何利用二項式定理解決相關問題。數學歸納法則是證明數學命題的重要工具，特別適用於證明與自然數相關的等式或不等式。

在格致理學的數學補習課堂上，導師會透過大量例題講解二項式定理的應用技巧，並教授學生如何有系統地書寫數學歸納法的證明步驟。這些基礎知識對後續學習微積分有重要的鋪墊作用。

極限與連續性：微積分的根基

極限（Limit）是微積分的基石概念，幾乎所有微積分的定義都建基於極限。理解極限的概念對於學好M1至關重要，這也是許多學生在補習數學時需要特別加強的部分。

什麼是極限？

簡單來說，極限描述的是當自變數趨近某個值時，函數值會趨近的數值。例如，當x趨近2時，函數f(x)=x²的值會趨近4。極限的數學記法是：lim(x→2) x² = 4。理解「趨近」這個概念是掌握極限的關鍵。

極限的計算方法有多種，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。不同的函數形式需要使用不同的技巧。在補數學課程中，導師會系統地教授各種極限計算方法，並透過練習讓學生熟練掌握。

重要極限公式

M1課程中有幾個必須熟記的重要極限，它們是導數定義和微積分運算的基礎：

• lim(x→0) (sin x)/x = 1
• lim(x→0) (1-cos x)/x = 0
• lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1
• lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e

這些公式在DSE考試中經常出現，學生必須熟練運用。透過專業的數學補習，學生不但能記住這些公式，更能理解它們的推導過程和應用場景。

連續性的概念

連續性是與極限密切相關的概念。若函數在某點的極限值等於該點的函數值，則稱該函數在該點連續。連續函數的圖像是一條不間斷的曲線，可以一筆畫成而不用提起筆。

理解連續性對於後續學習導數和積分非常重要。只有連續的函數才能進行某些微積分運算。在數學補習課堂上，導師會利用圖像幫助學生直觀理解連續與不連續的區別，並教授如何判斷函數的連續性。

導數與微分法：掌握變化率的數學工具

導數是M1課程的核心內容，也是DSE考試的重點考核範圍。導數描述的是函數的瞬時變化率，在實際應用中可以用來計算速度、加速度、邊際成本等。系統性的補習數學能幫助學生全面掌握導數的概念和計算技巧。

導數的定義與幾何意義

導數的正式定義是：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h。這個定義表示函數在某點的導數等於該點切線的斜率。從幾何角度理解，導數就是曲線在某點的傾斜程度。

理解導數的幾何意義對於解題非常有幫助。例如，當導數為正時，函數遞增；當導數為負時，函數遞減；當導數為零時，函數可能有極值點。這些性質在補數學課程中會詳細講解，並配合大量練習加深理解。

基本導數公式

M1學生必須熟記以下基本導數公式：

• d/dx (x^n) = nx^(n-1) （冪函數法則）
• d/dx (e^x) = e^x （指數函數）
• d/dx (ln x) = 1/x （對數函數）
• d/dx (sin x) = cos x
• d/dx (cos x) = -sin x
• d/dx (tan x) = sec²x

這些公式是所有導數計算的基礎。在格致理學的數學補習課程中，導師會透過推導過程幫助學生理解這些公式的來源，而非單純死記硬背。

導數運算法則

除了基本公式外，學生還需掌握導數的運算法則，包括：

• 常數倍法則：d/dx [cf(x)] = c · f'(x)
• 和差法則：d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
• 乘積法則：d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• 商法則：d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
• 鏈式法則：d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

鏈式法則是最重要也是最常用的法則，大部分複雜函數的導數計算都需要用到它。透過補習數學的針對性訓練，學生能熟練運用這些法則解答各類題目。

導數的應用

M1課程強調導數在實際問題中的應用，主要包括：

• 求函數的極大值和極小值：利用導數為零找出臨界點，再判斷極值類型
• 相關變化率問題：當一個量隨時間變化時，如何求另一個相關量的變化率
• 曲線的凹凸性：利用二階導數判斷曲線的凹凸方向
• 最優化問題：在給定約束條件下，求某個量的最大或最小值

這些應用題是DSE的高分題型，需要學生具備紮實的概念理解和靈活的解題能力。格致理學的數學補習課程會特別針對這些題型進行訓練，提升學生的應試能力。

積分法入門：從導數的逆運算開始

積分是微分的逆運算，也是M1課程的另一個重要部分。如果說導數是用來求變化率，那麼積分就是用來求累積量。在補數學課程中，學生會學習如何運用積分解決面積、體積等計算問題。

不定積分的概念

不定積分是求原函數的過程。若F'(x) = f(x)，則F(x)稱為f(x)的原函數，記作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是任意常數（積分常數）。積分常數的存在是因為導數為零的常數函數有無限多個。

學習不定積分首先要熟練掌握基本積分公式，它們基本上是導數公式的逆運算。透過數學補習的系統訓練，學生能建立起「看到被積函數就能聯想到原函數」的直覺。

基本積分公式

M1學生必須熟記的基本積分公式包括：

• ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C （n ≠ -1）
• ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫sec²x dx = tan x + C

這些公式與導數公式相對應，學生在補習數學時應將兩者結合記憶，互相印證。

積分技巧

除了直接運用公式外，M1還會涉及一些積分技巧：

• 代換積分法：當被積函數是複合函數時，可用適當的代換簡化計算
• 分部積分法：適用於兩函數乘積的積分，公式為∫u dv = uv - ∫v du

這些技巧需要通過大量練習才能熟練掌握。在格致理學的數學補習課程中，導師會教授如何判斷何時使用哪種技巧，並提供充足的練習機會。

定積分與面積計算

定積分是不定積分的延伸，用於計算確定區間內的累積量。最常見的應用是計算曲線下的面積。定積分的計算方法是：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函數。

面積計算是DSE的常考題型，學生需要能夠：

• 計算曲線與x軸之間的面積
• 計算兩條曲線之間的面積
• 處理當函數值為負時的面積計算

透過專業的補數學訓練，學生能掌握各種面積計算的技巧，在考試中穩奪高分。

統計學應用：數據分析的數學基礎

M1課程的另一個重要組成部分是統計學。統計學涉及數據的收集、整理、分析和推斷，在現代社會各領域都有廣泛應用。透過數學補習學習統計學，學生能培養數據分析的能力，為日後學業和職業發展做好準備。

機率論基礎

機率論是統計學的理論基礎。M1課程會深入講解機率的各種概念和計算方法，包括：

• 條件機率：在已知某事件發生的條件下，另一事件發生的機率
• 獨立事件：兩事件互不影響，P(A∩B) = P(A)P(B)
• 貝葉斯定理：根據已知結果推斷原因的機率計算方法

機率計算是補習數學M1課程的重點內容，學生需要透過大量練習熟悉各種題型。

機率分佈

機率分佈描述隨機變數取各個值的機率。M1主要涉及以下分佈：

• 二項分佈：描述n次獨立試驗中成功k次的機率
• 泊松分佈：描述單位時間或空間內事件發生次數的機率
• 正態分佈：最重要的連續型分佈，呈鐘形曲線

理解這些分佈的特性和應用場景是學好統計學的關鍵。格致理學的數學補習課程會詳細講解各種分佈的公式和計算方法。

統計推斷

統計推斷是根據樣本數據推斷總體特徵的方法，包括：

• 點估計：用樣本統計量估計總體參數
• 區間估計：給出參數的置信區間
• 假設檢定：根據樣本數據判斷假設是否成立

這些內容較為抽象，建議透過補數學課程跟隨專業導師學習，配合實例理解概念。

DSE M1應試技巧：高效備考策略

DSE M1考試要求學生在有限時間內展示對微積分和統計學的掌握。除了扎實的知識基礎外，良好的應試技巧也是取得高分的關鍵。以下是格致理學數學補習導師總結的實用應試建議。

考試時間管理

M1考試時間緊湊，學生必須合理分配時間：

• 先瀏覽全卷，了解題目分佈和難度
• 先做有把握的題目，確保基本分數
• 長題目要按分值分配時間，每分約2-3分鐘
• 預留5-10分鐘檢查答案

良好的時間管理需要通過練習培養。在補習數學課程中，導師會安排模擬考試，幫助學生適應考試節奏。

答題技巧

M1考試講求答題的清晰和嚴謹：

• 展示計算過程：評卷員會按步驟給分，即使最終答案錯誤也可能獲得部分分數
• 注意單位和精確度：統計題常要求特定的小數位數
• 畫圖輔助：面積計算題宜先畫草圖，確定積分上下限
• 檢查答案合理性：例如機率應在0到1之間，面積應為正數

這些技巧在補數學練習中會反覆強調，直至學生養成習慣。

計算機程式的運用

DSE M1考試允許使用認可的計算機，善用計算機程式能大幅提升解題效率：

• 數值積分程式：可用來驗證定積分答案
• 統計計算程式：快速計算標準差、相關係數等
• 方程求解程式：找出函數的零點或極值點

格致理學的數學補習課程會教授常用的計算機程式，讓學生在考試中事半功倍。

常見錯誤與解決方法：避開M1學習陷阱

在多年數學補習教學經驗中，我們發現學生在學習M1時常犯一些典型錯誤。了解這些錯誤並加以避免，能大大提升學習效率。

微積分常見錯誤

• 忘記鏈式法則：計算複合函數導數時，忘記乘以內函數的導數
  解決方法：養成「由外到內」的思維習慣，每次遇到複合函數都要警覺
• 積分忘記加常數C：不定積分必須加上積分常數
  解決方法：將「+C」當作積分記號的一部分來記憶
• 混淆微分和導數：dy/dx是導數，dy = f'(x)dx是微分
  解決方法：透過補數學課程釐清兩者的區別和關係

統計學常見錯誤

• 混淆機率分佈：不清楚何時用二項分佈、何時用泊松分佈
  解決方法：記住各分佈的適用條件和特徵
• 正態分佈查表錯誤：標準化後查表時出錯
  解決方法：大量練習查表，熟悉標準正態分佈表的使用方法
• 假設檢定步驟不完整：漏寫虛無假設或結論不清晰
  解決方法：按照標準格式作答，數學補習課堂會提供模板

計算錯誤

計算錯誤是失分的主要原因之一。建議學生：

• 書寫工整，避免因字跡潦草而看錯數字
• 重要計算步驟要驗算
• 善用計算機檢查數值答案

透過補習數學的針對性訓練，學生能逐步減少計算錯誤，提升答題準確度。

高效溫習計劃：按部就班備戰DSE

成功從來不是偶然的，有計劃的溫習是取得M1佳績的關鍵。以下是格致理學數學補習導師為中五、中六學生設計的溫習建議。

中五階段：打穩根基

• 徹底理解每個概念的定義和原理
• 完成課本所有練習題
• 建立錯題本，記錄常犯錯誤
• 每週安排固定時間補數學，鞏固所學

中六上學期：強化訓練

• 完成課程內容，開始做Past Paper
• 按Topic分類練習，找出弱項重點加強
• 參加數學補習班的模擬測驗
• 整理公式表，熟記重要公式

中六下學期：衝刺階段

• 大量做Past Paper，熟悉考試模式
• 計時練習，提升答題速度
• 重做錯題，確保不再犯同樣錯誤
• 調整作息，保持良好狀態迎接考試

若能配合專業的補習數學指導，學習效果會更加顯著。

為何選擇格致理學數學補習中心？

選擇合適的數學補習中心對於M1學習成績有重大影響。格致理學專為Band 1中學學生而設，具備以下優勢：

專業導師團隊

我們的導師均具備豐富的DSE數學補習經驗，熟悉M1課程大綱和考試趨勢。導師能夠因材施教，針對每位學生的弱點制訂個人化的學習方案，確保學習效果最大化。

小班教學模式

格致理學採用小班教學，讓導師能夠充分關注每位學生的學習進度。在補數學課堂上，學生可以隨時提問，獲得即時解答，不會因為人數太多而被忽略。

完善教材系統

我們提供自編的M1教材和練習，內容涵蓋所有考試範圍，並按照難度分級，適合不同程度的學生使用。教材會定期更新，加入最新的DSE考題和趨勢分析。

課後支援服務

學習不止於課堂，格致理學提供WhatsApp問功課服務，學生在溫習時遇到問題可以隨時發問。我們相信持續的支援是補習數學成功的關鍵。

優秀往績

我們的學生大多來自九龍區Band 1中學，包括DBS、DGS、La Salle College、MCS、九龍華仁書院、協恩中學等。在格致理學的數學補習課程幫助下，學生的數學成績穩步上揚，不少更在DSE取得5**的佳績。

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