DSE數學M2延伸單元：代數與微積分重點整理｜2025最新數學補習指南

最後更新：2025年12月 閱讀時間：約15分鐘

目錄

• 一、DSE數學M2是什麼？
• 二、M2課程架構完整解析
• 三、代數領域重點知識
• 四、微積分領域核心內容
• 五、基礎知識領域精讀
• 六、M2考試技巧與策略
• 七、學生常犯錯誤與應對方法
• 八、高效溫習計劃制定
• 九、為何需要專業數學補習？
• 十、常見問題解答

一、DSE數學M2是什麼？為何選修M2對升學如此重要？

DSE數學延伸部分單元二（M2），全名為「代數與微積分」（Algebra and Calculus），是香港中學文憑考試中專為數學能力較強的學生而設的選修課程。對於有志於報讀大學理科、工程學、精算學等專業的同學而言，M2不僅是入學門檻的基本要求，更是打好數學基礎的關鍵。在九龍區不少Band 1中學如DBS、La Salle College、九龍華仁書院等，都鼓勵學生修讀M2課程。然而，由於M2課程內容較深，許多同學都會透過數學補習來加強理解，提升成績。

M2與M1的主要分別

M1（微積分與統計）偏向應用數學，着重統計學及機率的實際應用；而M2則偏向純粹數學，強調代數理論、邏輯推理及抽象思維能力。選擇補習數學M2的同學，通常對數學有濃厚興趣，並計劃未來從事需要高深數學知識的專業，例如工程師、精算師、數據科學家等。

M2對大學收生的重要性

眾多大學學科在計算入學成績時，會將M2成績作為額外加分項目。例如香港科技大學的理學院及工程學院，以及香港大學的精算學課程，均要求考生於M2達到4級或以上。部分課程更會將M2成績以雙倍計算，因此及早補數學M2，對升學前途有莫大裨益。格致理學數學補習中心的學生大多來自九龍區頂尖中學，不少學生正是看中M2對升學的重要性而選擇我們的專業課程。

二、M2課程架構完整解析：三大領域深度剖析

DSE數學M2課程主要分為三大領域：基礎知識、微積分及代數。整個課程設計循序漸進，由淺入深，要求學生具備紮實的數學基礎才能應付。專業的數學補習老師會按照課程結構，有系統地教授每個課題，確保學生能夠全面掌握。

2.1 基礎知識領域（Foundation）

基礎知識領域涵蓋數學歸納法（Mathematical Induction）、二項式定理（Binomial Theorem）、續三角函數（More about Trigonometric Functions）及e的簡介（Introduction to e）等課題。這些基礎概念是學習微積分和代數的必備知識，若根基不穩，後續學習將會困難重重。因此，不少家長會為子女安排補習數學基礎課程，確保基礎扎實。

2.2 微積分領域（Calculus）

微積分是M2課程的核心部分，包括極限（Limits）、求導法（Differentiation）、求導法的應用（Applications of Differentiation）、不定積分法及其應用（Indefinite Integration）、定積分法（Definite Integration）及其應用等課題。微積分概念抽象，對學生的邏輯思維要求極高，是許多同學選擇補數學的主要原因。

2.3 代數領域（Algebra）

代數領域涵蓋行列式（Determinants）、矩陣（Matrices）、線性方程組（Systems of Linear Equations）、向量的簡介（Introduction to Vectors）、純量積和向量積（Scalar Product and Vector Product）及向量的應用（Applications of Vectors）等課題。這些內容對於日後修讀大學數學及工程學科尤為重要，專業的數學補習老師能夠透過大量例題，幫助學生深入理解。

三、代數領域重點知識：矩陣、向量與線性方程組

3.1 矩陣（Matrices）基礎與運算

矩陣是代數領域的核心課題之一。學生需要掌握矩陣的基本運算，包括加法、減法、乘法及轉置等。在數學補習課堂上，老師會重點講解以下概念：

• 矩陣乘法規則：注意矩陣乘法不滿足交換律，即AB≠BA
• 單位矩陣：任何矩陣與單位矩陣相乘等於其本身
• 逆矩陣：只有行列式不為零的方陣才有逆矩陣
• 矩陣的次方：透過對角化或遞推公式計算高次方矩陣

格致理學的補習數學課程會提供大量矩陣運算練習，讓學生熟練掌握各種運算技巧。

3.2 行列式（Determinants）的計算與應用

行列式是判斷矩陣是否可逆的關鍵。二階行列式計算較為簡單，三階行列式則需要運用展開法或消元法。以下是行列式的重要應用：

• 判斷線性方程組是否有唯一解
• 計算逆矩陣
• 求解三角形面積（透過向量行列式）
• 判斷向量是否共面

透過專業補數學課程的系統訓練，學生能夠快速準確地計算各類行列式。

3.3 線性方程組（Systems of Linear Equations）

線性方程組是M2考試的常見題型。學生需要掌握以下解題方法：

• 高斯消元法：透過行變換將增廣矩陣化為行階梯形
• 克萊姆法則：利用行列式求解方程組
• 矩陣求逆法：將方程組表示為矩陣形式，透過逆矩陣求解

在數學補習課堂上，老師會針對不同題型，教授最有效率的解題策略。

3.4 向量（Vectors）的概念與運算

向量是代數領域的另一重點。學生需要理解向量的幾何意義，並掌握各種運算：

• 向量加減法：平行四邊形法則及三角形法則
• 純量積（Scalar Product）：計算向量夾角及判斷垂直
• 向量積（Vector Product）：計算平行四邊形面積及判斷共面
• 向量的投影：計算一個向量在另一向量上的投影長度

格致理學的補習數學課程特別注重向量的應用題訓練，幫助學生靈活運用向量知識解決實際問題。

3.5 向量的應用：直線與平面方程

向量在三維空間中的應用是M2課程的進階內容。學生需要學會：

• 以向量形式表示直線方程（參數式及對稱式）
• 計算點到直線的距離
• 判斷兩直線的位置關係（平行、相交、異面）
• 求兩異面直線的距離

這部分內容較為抽象，建議同學透過專業補數學課程，在老師指導下逐步掌握。

四、微積分領域核心內容：極限、求導法與積分法

4.1 極限（Limits）的概念與計算

極限是微積分的基礎概念。學生需要理解極限的定義，並掌握各種計算技巧：

• 直接代入法：適用於連續函數
• 因式分解法：消去分子分母的公因式
• 有理化法：處理含根式的極限
• 夾擠定理：處理三角函數極限
• 洛必達法則：處理0/0或∞/∞型不定式

在數學補習課堂上，老師會透過豐富的例題，讓學生熟練各種極限計算方法。

4.2 求導法（Differentiation）的法則與技巧

求導法是微積分的核心技能。學生必須牢記各種求導法則：

• 基本法則：常數法則、冪函數法則
• 加法法則：(f+g)' = f' + g'
• 積法則：(fg)' = f'g + fg'
• 商法則：(f/g)' = (f'g - fg')/g²
• 鏈式法則：[f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
• 隱函數求導：處理y與x的隱式關係
• 對數求導法：處理複雜的乘除式

格致理學的補習數學課程會提供大量求導練習，確保學生能夠快速準確地完成各類求導題目。

4.3 求導法的應用

求導法在M2考試中有多種應用，是補數學課程的重點內容：

4.3.1 切線與法線方程

給定曲線上一點，透過求導計算該點的斜率，進而求出切線及法線方程。這是DSE常見的基礎應用題。

4.3.2 極值問題（最大值與最小值）

透過一階導數等於零找出臨界點，再用二階導數判別是極大值還是極小值。此類應用題在考試中佔分甚重。

4.3.3 變率問題（Rate of Change）

將實際問題轉化為數學模型，利用鏈式法則計算相關變率。例如水池注水問題、氣球膨脹問題等。

4.3.4 曲線描繪（Curve Sketching）

透過分析函數的定義域、極值點、拐點、漸近線等特徵，繪製函數圖形。

4.4 積分法（Integration）基礎

積分法是求導法的逆運算。學生需要掌握基本積分公式及各種積分技巧：

• 基本積分公式：冪函數、指數函數、三角函數等的積分
• 換元積分法：透過變數代換簡化積分式
• 分部積分法：∫udv = uv - ∫vdu
• 部分分式法：將有理函數分解後積分

積分法的技巧繁多，透過專業數學補習課程的系統訓練，學生能夠有效提升積分能力。

4.5 定積分及其應用

定積分是M2課程的重要內容，應用廣泛：

• 面積計算：計算曲線與坐標軸或兩曲線之間的面積
• 體積計算：旋轉體體積的計算（圓盤法、圓環法）
• 弧長計算：計算曲線的弧長

格致理學補習數學課程會針對定積分應用題提供豐富的練習材料，幫助學生在考試中取得高分。

五、基礎知識領域精讀：數學歸納法與二項式定理

5.1 數學歸納法（Mathematical Induction）

數學歸納法是M2課程的重要證明工具。標準的數學歸納法包含兩個步驟：

1. 基礎步驟（Base Case）：證明命題對n=1（或其他初始值）成立
2. 歸納步驟（Inductive Step）：假設命題對n=k成立，證明對n=k+1亦成立

在數學補習課堂上，老師會特別強調歸納步驟中的邏輯推理，這是許多學生容易犯錯的地方。數學歸納法常用於證明等式、不等式、整除性質等。

5.2 二項式定理（Binomial Theorem）

二項式定理是展開(a+b)ⁿ的重要工具：

(a+b)ⁿ = Σ C(n,r) × aⁿ⁻ʳ × bʳ （r從0到n）

學生需要掌握以下重點：

• 組合數C(n,r)的計算
• 一般項（通項）的求法
• 特定項係數的計算
• 楊輝三角與二項式係數的關係

透過專業補數學課程的訓練，學生能夠靈活運用二項式定理解決各類問題。

5.3 續三角函數（More about Trigonometric Functions）

這部分內容擴展了學生對三角函數的認識：

• 三角恆等式：和差化積、積化和差公式
• 倍角公式：sin2θ、cos2θ、tan2θ
• 半角公式：利用倍角公式推導
• 逆三角函數：arcsin、arccos、arctan的性質

格致理學的數學補習課程會系統地教授這些公式，並透過大量練習幫助學生熟記。

5.4 e的簡介（Introduction to e）

自然常數e是微積分中的重要常數，其定義為：

e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828

學生需要理解e的性質及其與自然對數ln的關係：

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(ln x) = 1/x
• ∫eˣdx = eˣ + C
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C

在補習數學課堂上，老師會詳細講解e的各種應用，包括指數增長模型等實際應用。

六、M2考試技巧與策略：如何在DSE取得佳績

6.1 時間管理策略

DSE數學M2考試時間為2小時30分鐘，試卷分為兩部分。有效的時間管理是取得高分的關鍵：

• 甲部（短題目）：建議用時約60分鐘，每題平均5-6分鐘
• 乙部（長題目）：建議用時約80分鐘，每題約15-20分鐘
• 檢查時間：預留10分鐘檢查答案

在數學補習課堂上，老師會進行模擬考試訓練，幫助學生培養良好的時間觀念。

6.2 審題技巧

正確理解題目是答題的第一步。學生應注意：

• 仔細閱讀題目要求，注意「求」、「證明」、「解釋」等關鍵詞
• 留意題目給出的條件，思考如何運用
• 分析題目涉及的數學概念，選擇適當的解題方法

透過專業補數學課程的指導，學生能夠提升審題能力，避免因誤解題意而失分。

6.3 答題規範

M2考試注重解題過程的完整性。學生應做到：

• 每個步驟清晰書寫，不跳步
• 引用的定理或公式需要標明
• 數值計算需要保留適當的有效數字
• 結論要清楚明確

格致理學的數學補習課程特別注重培養學生的答題規範，確保學生能夠取得完整分數。

6.4 常見題型應對策略

針對M2的常見題型，補習數學老師會教授相應的應對策略：

• 證明題：按照標準格式書寫，注意邏輯的嚴謹性
• 計算題：熟記公式，計算過程要仔細
• 應用題：先建立數學模型，再進行求解
• 綜合題：分析題目結構，分步解答

七、學生常犯錯誤與應對方法

7.1 代數部分常見錯誤

在數學補習課堂上，老師觀察到學生在代數部分常犯以下錯誤：

• 矩陣乘法順序錯誤：忘記矩陣乘法不滿足交換律
• 行列式計算失誤：展開時符號錯誤
• 向量積方向判斷錯誤：混淆右手定則
• 線性方程組無解或無窮解的判斷錯誤

針對這些錯誤，補數學老師會提供專門的練習，幫助學生改正。

7.2 微積分部分常見錯誤

微積分部分的常見錯誤包括：

• 鏈式法則遺漏：求複合函數導數時忘記乘內函數的導數
• 積分常數遺漏：不定積分忘記加C
• 定積分上下限代入錯誤：混淆上限減下限的順序
• 極值判斷錯誤：混淆極大值與極小值

格致理學的專業數學補習老師會針對這些常見錯誤，設計專門的練習題目。

7.3 數學歸納法的常見問題

數學歸納法是學生容易出錯的課題：

• 基礎步驟驗證不完整
• 歸納假設表述不清
• 由k到k+1的推導過程跳步
• 結論書寫不規範

在補習數學課堂上，老師會逐一糾正這些問題，確保學生掌握正確的證明方法。

八、高效溫習計劃制定：按部就班取得佳績

8.1 中四階段溫習重點

中四是打好M2基礎的關鍵時期。這個階段的學習重點包括：

• 鞏固數學歸納法和二項式定理
• 熟練三角恆等式的應用
• 理解極限的基本概念
• 掌握基本的求導法則

建議在這個階段開始接受專業數學補習，打好穩固的基礎。

8.2 中五階段溫習重點

中五是深化M2知識的重要階段：

• 完善微積分的各種技巧
• 深入學習積分法及其應用
• 掌握矩陣和向量的運算
• 開始做歷屆試題練習

格致理學的補數學課程會在這個階段加強應用題的訓練。

8.3 中六衝刺階段

中六是備戰DSE的關鍵時期：

• 系統複習所有課題
• 大量操練歷屆試題
• 針對弱項進行強化訓練
• 模擬考試訓練時間管理

專業的數學補習老師會根據學生的實際情況，制定個人化的衝刺計劃。

8.4 操卷技巧與策略

操卷是補習數學課程的重要環節：

• 按課題操練：先分課題練習，掌握各類題型
• 限時練習：模擬考試環境，訓練時間管理
• 錯題整理：建立錯題本，定期複習
• 真題分析：了解出題趨勢和常見陷阱

九、為何需要專業數學補習？選擇優質補習社的重要性

9.1 M2課程難度分析

DSE數學M2被公認為難度較高的選修科目。課程內容抽象，概念繁多，對學生的邏輯思維要求極高。單靠自學或學校課堂教學，許多學生難以完全掌握。因此，選擇專業的數學補習課程，是提升M2成績的有效途徑。

9.2 專業補習的優勢

優質的補習數學課程能夠為學生提供以下優勢：

• 系統化教學：按照課程結構有序教授，確保知識點不遺漏
• 豐富練習材料：提供大量精選練習題，幫助學生鞏固所學
• 即時解答疑難：學生遇到問題可以即時提問，得到專業解答
• 考試技巧指導：傳授有效的應試策略，幫助學生在考試中發揮最佳水平
• 個人化輔導：根據學生的學習進度和弱項，制定針對性的教學計劃

9.3 格致理學的教學特色

格致理學數學補習中心位於九龍旺角區，專為Band 1中學學生而設。我們的補數學課程具有以下特色：

• 專業師資：由DSE數學5**級導師任教，教學經驗豐富
• 小班教學：確保每位學生都能得到充分的關注和指導
• 針對性教材：根據學生的程度和需要，提供適合的學習材料
• 成績保證：大部分學生在接受我們的數學補習後，成績都穩步上揚

我們的學生大都來自九龍區頂尖中學，包括DBS、DGS、La Salle College、MCS、九龍華仁書院、協恩中學等，以及各大國際學校。

9.4 如何選擇合適的數學補習

選擇補習數學課程時，學生和家長應考慮以下因素：

• 導師資歷：優先選擇具有相關學歷和豐富教學經驗的導師
• 教學方式：了解補習社的教學模式，是否適合學生的學習風格
• 課程內容：確保課程涵蓋M2的所有重要課題
• 往績記錄：了解補習社過往學生的成績表現
• 地點便利：選擇交通方便的補習地點，節省學生的交通時間

十、常見問題解答（FAQ）

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本文由格致理學數學補習中心編撰，內容僅供參考。如有任何疑問，歡迎聯絡我們的專業團隊。

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